解析関数

解析関数

数学における解析関数（かいせきかんすう、英語: analytic function）とは、その定義域に含まれる各点において、収束する冪級数で表すことができる性質を持つ関数を指します。ただし、文脈によっては多少異なる意味で用いられることもあります。

一般的な定義と複素関数における扱い

最も基本的な意味では、解析関数は局所的に冪級数展開が可能な関数です。特に複素変数 $z$ の複素数値関数 $f(z)$ について、ある点 $c$ の近くで $z - c$ の冪級数の形で表すことができるとき、$f(z)$ は点 $c$ で解析的であるといいます。そして、定義域全体のすべての点で解析的である関数を解析関数と呼びます。

複素関数論の驚くべき性質として、正則関数と解析関数は同一の概念であることが挙げられます。もし複素関数 $f$ が、ある点 $c$ を中心とする開近傍 $D$ で正則（微分可能）であれば、その同じ開近傍 $D$ の内部で $f$ は任意の階数の導関数を持ち、点 $c$ を中心とするテイラー級数が $D$ 内のすべての点 $z$ で $f(z)$ に収束します。これは、正則関数が自動的に解析的であることを示しており、複素関数が実関数に比べて「良い性質」を持つことの一例です。したがって、特に断りがない場合、複素解析の分野では解析関数は正則関数と同義として扱われます。

多変数の複素関数についても、各変数に関する収束冪級数で局所的に展開できる場合に解析的または正則と定義されます。これは、コーシー・リーマンの関係式を満たすという条件よりも強い条件となります。

これに対して、実変数を持つ関数においては、事情が異なります。実関数が微分可能であることと、実解析関数であること（局所的に実数の冪級数で表せること）は全く異なります。無限回微分可能な実関数の中にも、テイラー級数が収束しない、あるいは収束しても元の関数に一致しないものが存在します。

ワイエルシュトラスによる解析関数

複素関数論における別の意味合いとして、ワイエルシュトラスの解析関数という概念があります。これは、ある領域で定義された正則関数を、解析接続という手法を用いて定義域を最大限に広げた関数を指します。

解析接続は次のように行われます。複素平面上のある領域で定義された正則関数に対し、その領域内の各点には、その点を中心とする収束冪級数とその収束円が存在します。この冪級数と収束円の組を関数要素と呼びます。ある関数要素から出発し、別の関数要素の収束円と重なる部分があれば、その重なった部分で値が一致するように、新しい関数要素へと次々と接続していきます。この操作を曲線上をたどりながら進めることで、元の関数の定義域を拡張していくことができます。

あらゆる曲線に沿って可能な限り解析接続を行い、定義域を限界まで拡張して得られる関数が、ワイエルシュトラスの意味での解析関数です。古典的な関数論では、しばしばこの意味の解析関数が研究対象とされます。

ワイエルシュトラスの解析関数にはいくつかの特徴があります。

一意性: 出発点となる一つの関数要素が与えられれば、それによって得られる大域的な解析関数（定義域全体を含めて）は一意に定まります。小さな領域で定義された正則関数から、その拡張である大域的な解析関数が一意的に決まるのです。
多価性: 一般に、解析接続の経路によっては、同じ点に対して複数の異なる関数要素が得られることがあります。これにより、解析関数は一つの入力値に対して複数の出力値を持つ多価関数となる場合があります。例えば、平方根を表す関数は通常2価であり、対数関数は無限多価関数です。
リーマン面: 多価の解析関数を扱う際には、複素平面を変形したリーマン面という概念が有効です。適切なリーマン面の上では、多価解析関数を1価の正則関数と見なすことができ、通常の正則関数に対するコーシーの積分定理などの様々な解析的な結果を適用することが可能になります。

用語について

解析関数に関連する用語として、「正則関数（regular function）」や「整型関数（holomorophic function）」があります。これらの用語は文脈によって使い分けられることがあります。例えば、古典的な文献においては、「解析 (analytic)」という形容詞は「全局的」な意味合いで用いられることが多く、一方「正則 (regular)」は「局所的」な意味合いで用いられる傾向があるようです。フランス系の数学では「整型 (holomorphe)」という言葉も使われます。複素関数論では、これらはしばしば同義として扱われますが、実解析関数と対比させる場合や、ワイエルシュトラスの意味での大域的な関数を指す場合には、「解析的」という言葉が選ばれることがあります。

関連する概念

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