オイラーのφ関数

オイラーのトーシェント関数

オイラーのトーシェント関数（φ関数）は、正の整数nに対し、nと互いに素な自然数の個数を示す数論的な関数です。この関数は、φ(n)という形で表記され、定義としては次のようになります。

$$
φ(n) = \sum_{1 \leq m \leq n \atop (m,n) = 1} 1
$$

ここで、(m, n)はmとnの最大公約数を示します。この関数は、オイラーによって1761年に発見されましたが、日本の数学者久留島義太による言及がそれ以前にあったとも言われています。

φ関数の具体例

例えば、6を考えると、1, 2, 3, 4, 5, 6の中で6と互いに素なのは1と5の2つです。なので、 φ(6) = 2となります。同様に、7の文脈では、1から7までの数の中で7以外の全てが7と互いに素なので、φ(7) = 6が成り立ちます。通常、1から20までのφ(n)の値は以下のようになります：

1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8...

性質と定理

pを素数とした場合、1からp-1の間にpの因子を含む数は存在しないため、φ(p) = p - 1が成り立ちます。また、任意の数kに対して、1からpkの範囲では、pの倍数がpk - 1個存在するため、他の数論的性質も確認できます。

さらに、mおよびnが互いに素な自然数であれば、φ(mn) = φ(m)φ(n)が成り立ちます。これはライカリティに関する特性についてのもので、任意の自然数nの値をうまく計算するために活用できます。

自然数nがdで割り切れる場合、1からnまでの数字の中でnと最大公約数がn/dであるものの数はφ(d)個です。特に、dがnの正の約数である場合、次の等式が成立します：

$$
\sum_{d \mid n} φ(d) = n
$$

ここでd | nはdがnを割り切ることを示しています。

拡張されたコンセプト

もしGが位数nの巡回群であれば、nの約数dに対して、Gの位数dの元はφ(d)個存在します。このため、巡回群の生成元となる元の数もφ(n)個あることが示されます。

また、剰余環Z/mZ内での属性に関しても、aがmと互いに素である場合、a + mZの剰余類は既約であると定義されます。これにより、既約剰余類の数もφ(m)と等しいことが確認されます。

ノントーシェントとその性質

φ(n)がxになる自然数nが存在する場合、そのnは少なくとも二つ存在するだろうと予測されていますが、これはまだ証明されていません。なお、任意のk > 1に対してφ(n)がxになるnの個数が正確にk個となるxは無限に存在すると考えられています。

トーシェント関数の特性を通じて、整数を理解するための新しい視座を得られるのがこの関数の魅力と言えるでしょう。様々な数論的問題への応用が期待されるオイラーのトーシェント関数の研究は今後も続けられることでしょう。

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