巡回群

巡回群：群論における基礎概念

群論において、巡回群とは、たった一つの元によって生成される群のことです。この特別な元は、群のすべての元を整数冪（乗法群の場合）または整数倍（加法群の場合）で表現できるため、生成元または原始元と呼ばれます。言い換えれば、群のすべての要素が、この生成元の繰り返し演算によって得られるというシンプルな構造を持っています。

定義と性質

群 G が巡回群であるとは、ある元 g ∈ G が存在し、G = ⟨g⟩ = {gⁿ | n ∈ Z} と表されることを意味します。ここで、Z は整数の集合です。 g の整数乗（または整数倍）によって G のすべての元が生成されます。

有限巡回群と無限巡回群が存在します。有限巡回群は、有限個の元を持ち、その位数は生成元 g の位数と一致します。無限巡回群は、無限個の元を持ち、整数全体の成す加法群 Z に同型です。

巡回群は最も基本的な群のタイプの一つであり、その構造は非常にシンプルで、理解しやすい性質を多く持っています。例えば、すべての巡回群はアーベル群（可換群）です。つまり、任意の二つの元 a, b ∈ G に対して、ab = ba が成り立ちます。

分類と表記

巡回群は、その位数（元の個数）によって完全に分類されます。任意の正整数 n に対して、位数 n の巡回群は（同型の違いを除いて）ただ一つ存在します。また、位数無限大の巡回群もただ一つ存在します。

位数 n の巡回群は、しばしば Cₙ または Z/nZ と表記されます。Z/nZ は、n を法とする整数の剰余類の集合に、加法演算を定義したものです。無限巡回群は C∞ または Z と表記されます。

部分群と剰余群

巡回群の重要な性質として、その部分群もまた巡回群であることが挙げられます。位数 n の巡回群 G の任意の部分群の位数は n の約数であり、n の各約数 k に対して、G は位数 k の部分群をちょうど一つだけ持ちます。この性質は、有限巡回群の特徴付けに用いられます。

剰余群についても同様で、巡回群の剰余群は全て巡回群になります。

自己準同型

巡回群の自己準同型は、群自身への写像で群構造を保つものです。アーベル群 Z/nZ の自己準同型環は、環としての Z/nZ 自身に同型であり、その自己同型群は、n と互いに素な数の集合からなる単元群 (Z/nZ)× に同型となります。

実質巡回群

実質巡回群とは、指数有限な巡回部分群を含む群のことです。これは、群の全ての元がある有限集合の元に、指数有限な巡回部分群のある元をかけることで写像できることを意味します。全ての巡回群は実質巡回群であり、有限群も実質巡回群です。

応用

巡回群は、抽象代数学の基礎的な概念であるだけでなく、様々な分野に応用されます。例えば、対称変換群、有限体のガロワ群、信号処理、暗号理論など、多岐にわたる分野でその重要性が認識されています。

まとめ

巡回群は、そのシンプルな構造と豊かな性質から、群論における重要な研究対象となっています。その理解は、より複雑な群の構造を理解する上での基礎となります。この項目で紹介した定義、性質、そして関連する概念を理解することで、群論への理解を深めることができるでしょう。 さらに深く学ぶためには、群論に関する専門書や文献を参照することをお勧めします。

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