オイラーの四辺形定理

オイラーの四辺形定理

オイラーの四辺形定理は、平面上の凸四角形において、その四辺の長さと二本の対角線の長さ、および対角線の中点間の距離の関係を記述する幾何学的定理です。この定理は、レオンハルト・オイラーによって発見された重要な結果であり、中線定理やピタゴラスの定理といった基本的な定理を特別な場合として含む、四辺形の普遍的な性質を示しています。

定理の主張

今、任意の凸四角形の四つの辺の長さをそれぞれ _a_、_b_、_c_、_d_ とし、二本の対角線の長さを _e_、_f_ とします。さらに、これら二本の対角線それぞれのちょうど真ん中の点（中点）同士を結んだ線分の長さを _g_ とします。このとき、オイラーの四辺形定理は以下の等式が成り立つことを主張しています。

`a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 + 4g^2`

この式は、四辺の長さの平方和が、対角線の長さの平方和に対角線の中点間距離の平方の4倍を加えたものに等しいことを意味します。

他の定理との関係

この定理の強力な点の一つは、特定の種類の四角形に適用することで、他の基本的な幾何学の定理が得られることです。

1. 平行四辺形の場合:
平行四辺形では、二本の対角線は必ずその中点で互いに交わります。したがって、二つの対角線の中点は一致し、その距離 _g_ はゼロとなります (`g = 0`)。また、平行四辺形では対辺の長さが等しい、つまり `a = c` かつ `b = d` が成り立ちます。これらの条件をオイラーの四辺形定理の式に代入すると、以下のようになります。

`a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = e^2 + f^2 + 4 0^2`
`2a^2 + 2b^2 = e^2 + f^2`

この式は、平行四辺形の二辺の長さの平方の合計の2倍が、対角線の長さの平方和に等しいことを示しており、これは平行四辺形定理として知られ、三角形の中線定理を平行四辺形に適用した場合と同じ形をしています。

2. 長方形の場合:
長方形は平行四辺形の特別な場合です。したがって、上記の平行四辺形の性質 (`g = 0`, `a = c`, `b = d`) に加えて、二本の対角線の長さが等しい (`e = f`) という性質も持ちます。この条件を平行四辺形定理の式 (`2a^2 + 2b^2 = e^2 + f^2`) に代入すると、以下のようになります。

`2a^2 + 2b^2 = e^2 + e^2`
`2a^2 + 2b^2 = 2e^2`

両辺を2で割ると、

`a^2 + b^2 = e^2`

という式が得られます。これは、長方形の一つの角を構成する二辺の長さの平方和が、対角線の長さの平方に等しいことを示しており、まさにピタゴラスの定理そのものです。このように、オイラーの四辺形定理は、長方形における辺と対角線の関係がピタゴラスの定理によって記述されることを内包しています。

定理の導出について

オイラーの四辺形定理は、元の四角形 `ABCD` に対し、 `ABED` が平行四辺形となるように点 `E` を取る構成を用いて導くことができます。このとき、辺と対角線の長さに関して、以下の関係が成り立ちます。

`|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |AD|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + |CE|^2`

ここで登場する `|CE|^2` という項は、元の四角形 `ABCD` が平行四辺形 `ABED` からどの程度「ずれている」か、すなわち平行四辺形からの乖離を示す補正項と見なすことができます。

次に、対角線 `AC` の中点 `M` と `BD` の中点 `N` を考えます。 `ABED` が平行四辺形であることから、その対角線 `AE` と `BD` は互いの中点で交わります。したがって、点 `N` は `BD` の中点であると同時に、`AE` の中点でもあります。三角形 `ACE` において、`M` は `AC` の中点、`N` は `AE` の中点であるため、三角形における中点連結定理により、線分 `NM` の長さは線分 `CE` の長さの半分になります (`|NM| = |CE| / 2`)。つまり、`|CE| = 2 |NM|` が成り立ちます。

この関係から `|CE|^2 = (2 |NM|)^2 = 4 |NM|^2` となります。ここで `|NM|` は先に定義した対角線中点間の距離 _g_ に等しいことを思い出してください。この `|CE|^2 = 4g^2` という関係を上の式 (`|AB|^2 + ... = |AC|^2 + ... + |CE|^2`) に代入することで、最初のオイラーの四辺形定理の式 `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 + 4g^2` が得られます。

この定理は、必ずしも凸である必要のない四辺形や、あるいは三次元空間上の四点によって定義される（同一平面上にない）四辺形にまで拡張することが可能です。

もう一度検索