中点連結定理

中点連結定理とは

中点連結定理（ちゅうてんれんけつていり）は、平面幾何学において三角形や台形が持つ性質を示す重要な定理の一つです。特に三角形においては、辺の中点に関する興味深い関係を示します。

三角形における中点連結定理

三角形ABCを考えます。この三角形の底辺BC以外の2辺、ABとACのそれぞれの中点をMとNとします。このとき、点Mと点Nを結んでできる線分MNは「中点連結」と呼ばれます。中点連結定理は、この線分MNが底辺BCに対して、次の2つの性質を持つことを主張しています。

1. 線分MNは底辺BCと平行である。（MN ∥ BC）
2. 線分MNの長さは底辺BCの長さのちょうど半分である。（MN = ½ BC）

さらに、このとき三角形AMNは元の三角形ABCと相似になり、その相似比は1:2となります。

証明について

中点連結定理の証明方法はいくつか存在しますが、日本の多くの中学校の教科書では、三角形AMNと三角形ABCが相似であることを利用した証明が採用されています。これは、小学校で学んだ図形の拡大・縮小といった概念から相似な図形の性質を（ある種自明なものとして）受け入れて学ぶ、生徒の学習段階に配慮した便宜的な方法と言えます。

しかし、数学的に厳密な観点から見ると、相似に関する様々な性質や定理は、実はこの中点連結定理やその逆定理を繰り返し適用することで導かれるものです。そのため、相似を証明の根拠とすることは、数学的には「循環論法」となり得ます。厳密な証明では、平行線と線分の比に関する定理（例えばタレスの定理やその特別な場合）など、より基本的な原理を用いる必要があります。

中点連結定理の逆

中点連結定理は「2辺の中点を結ぶ線分」が「底辺と平行で長さが半分」になるという結論を持っています。この逆を考える際には、仮定と結論を入れ替えることになります。

一般に「中点連結定理の逆」として知られているのは、次の性質を指します。

「三角形の一辺の中点から出発し、底辺に平行に引いた直線は、残りのもう一辺の中点を通る。」

具体的には、三角形ABCにおいて、辺ABの中点Mから底辺BCに平行な直線を引いたとき、この直線が辺ACと交わる点をNとすると、点Nは必ず辺ACの中点になる、という定理です。これは真であり、様々な幾何学の問題を解く上で非常に役立ちます。

一方、「三角形の一辺の中点から出発し、残りのもう一辺上の点に向けて、底辺の半分の長さの線分を引いたとき、その線分の終点が他の辺の中点になる」という性質は、簡単に反例を見つけることができ、一般には成り立ちません。

また、中点連結定理の2つの結論（平行であること、長さが半分であること）の両方を仮定とした逆も考えられます。「三角形の、底辺を除く2辺の上に端点を持つ線分が、底辺と平行でかつ長さがその辺の半分であるならば、その線分の両端はそれぞれの辺の中点である」という性質も真であり、これも広義の中点連結定理の逆として扱われることがあります。

台形における中点連結定理

中点連結定理の考え方は、台形にも拡張できます。台形において、平行な底辺ではない2辺（「脚」と呼ばれます）のそれぞれの中点を結んだ線分も「中点連結」と呼ばれます。

台形ABCDがあり、辺BCと辺DAが平行であるとします。脚である辺ABと辺CDのそれぞれの中点をMとNとすると、線分MNは次の性質を持ちます。

1. 線分MNは底辺BCおよびDAと平行である。（MN ∥ BC ∥ DA）
2. 線分MNの長さは、2つの底辺BCとDAの長さの相加平均（平均）に等しい。（MN = ½ (BC + DA)）

この台形の中点連結定理は、台形を補助線で分割（例えば三角形と平行四辺形に分けたり、対角線を引いたり）し、三角形の中点連結定理を適用することで証明できます。例えば、直線ANを引いて底辺BCを延長した線分との交点をEとすると、合同な三角形を利用して点NがAEの中点であることを示せ、三角形ABEに対して三角形の中点連結定理を適用するという方法などがあります。

中点連結定理とその逆、そして台形への拡張は、図形の性質を理解し、様々な問題を解くための基本的なツールとなります。

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