オイラー角

オイラー角について

オイラー角とは、三次元ユークリッド空間での二つの直交座標系の関係を表現するための方法です。この概念は、著名な数学者レオンハルト・オイラーによって考案されました。オイラー角を用いることで、剛体に固定された座標系からその姿勢を効果的に記述することができます。

オイラー角の定義

オイラー角は、通常、三つの角度の組で表されます。ここでは一方の座標系を (x, y, z) で、他方の座標系を (X, Y, Z) として、共通の原点を持つものと考えます。最初に、z軸とZ軸の間になる角度を β として定義します。

β が 0°や 180°でない場合、xy平面とXY平面は一点で交わるのではなく、一つの直線で交わります。この交線を N と呼びます。

次に、x軸と交線 N のなす角度を α とし、X軸と交線 N のなす角度を γ とします。このとき、オイラー角は以下のように表現されます：

$$ (eta , eta , eta) $$

ここから、オイラー角は座標軸周りの回転を繰り返すことで表すことが可能であることがわかります。

回転のプロセス

1. 最初に、座標 (x, y, z) を z軸まわりに角度 α 回転させて新しい座標 (x', y', z') を得ます。
2. 次に、(x', y', z') を x'軸まわりに角度 β 回転させ、新たに (x'', y'', z'') を得ます。
3. 最後に、(x'', y'', z'') を z''軸まわりに角度 γ 回転させることで、座標 (X, Y, Z) に到達します。

このように、オイラー角は z 軸-x軸-z軸の順に回転を行うため、z-x-z系のオイラー角と呼ばれます。実際には、どの軸の周りに回転させるかには多様性があり、同じ座標系を表すために12通りの表現方法が存在します。

取り扱いの注意

オイラー角は、航空工学やロボティクス、さらにはコンピュータグラフィックスの分野でも広く使用されています。その応用範囲は実に多岐にわたりますが、同時に、特定の条件下での解釈や計算には注意が必要です。特に、オイラー角は特定の回転順序に依存するため、用途に応じた適切な順序の選択が求められます。

まとめ

オイラー角は、三次元の空間における回転の表現方法の一つです。この角度の組み合わせによって定義されるオイラー角は、異なる座標系間の関係を視覚的に理解する上で非常に有効です。また、この体系は様々な分野に応用されていることから、理論と実用の両面で重要な役割を果たしています。

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