直交座標系

直交座標系：位置を数値で表現するシステム

直交座標系は、互いに直交する（つまり、90度の角度で交わる）座標軸を用いて空間上の点の位置を表す幾何学的システムです。平面（二次元空間）ではx軸とy軸の2本の軸、三次元空間ではさらにz軸を加えた3本の軸が用いられます。それぞれの軸に沿った距離（座標値）によって、空間内の任意の点を一意的に特定することができます。

平面上の直交座標系

平面上の直交座標系では、水平方向のx軸と垂直方向のy軸が用いられます。原点(0,0)はx軸とy軸の交点として定義され、点の位置はx軸方向の距離とy軸方向の距離の組(x, y)で表されます。x軸の正の向きは通常右方向、y軸の正の向きは上方向に設定されます。この配置は右手系と呼ばれ、x軸からy軸へ反時計回りに回転する方向を正と定めています。

平面上の各点は、x座標とy座標の値によって一意的に決定されます。例えば、点(3,2)はx軸から3単位、y軸から2単位の位置に存在する点を示します。

平面はx軸とy軸によって4つの領域（象限）に分割されます。

第一象限: x座標とy座標が共に正の値をとる領域
第二象限: x座標が負、y座標が正の領域
第三象限: x座標とy座標が共に負の値をとる領域
第四象限: x座標が正、y座標が負の領域

三次元空間への拡張

三次元空間への拡張は、xy平面に垂直なz軸を追加することで実現します。この場合、空間内の点は(x, y, z)の3つの座標値によって表現されます。z軸の正の向きは通常上向きに設定されます。x軸、y軸、z軸の向きは右手系が一般的で、親指、人差し指、中指をそれぞれx軸、y軸、z軸の正の向きに一致させたときの指の配置をイメージすると分かりやすいでしょう。

デカルト座標系

直交座標系は、17世紀のフランスの哲学者、数学者であるルネ・デカルトの名前にちなんで、デカルト座標系とも呼ばれています。デカルトは、座標を用いて幾何学的な問題を代数的に解く方法を確立したことで知られています。この革新的なアイデアは、解析幾何学の基礎を築き、数学の発展に大きく貢献しました。

高次元への拡張

直交座標系の概念は、三次元空間を超えて、より高次元の空間にも拡張することができます。n次元空間では、n個の互いに直交する座標軸を用いて、各点をn個の座標値の組で表現します。

応用

直交座標系は、数学、物理学、工学、コンピュータグラフィックスなど、幅広い分野で用いられています。特に、コンピュータグラフィックスでは、三次元空間上の物体の位置や形状を表現するために不可欠なツールとなっています。また、地理情報システム（GIS）においては、地図上の位置情報を表現するために広く活用されています。地形情報の表現や災害対策、都市計画などにも応用されています。

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