カップ積

カップ積について

数学、特に代数トポロジーにおいて、カップ積（英: cup product）は、コサイクル間の新しい結合を形成する方法です。この操作は、次数がそれぞれ p と q の2つのコサイクルを用いて、次数が p + q の新しいコサイクルを生成します。カップ積は、コホモロジーにおける可換で双線型な積演算を定義し、これによって得られた空間 X のコホモロジーは次数付き環 H∗(X) となります。この構造はコホモロジー環として知られています。

歴史的背景

カップ積の概念は、1935年から1938年にかけて J. W. Alexander、Eduard Čech、Hassler Whitney の研究を通じて導入されました。その後、1944年には Samuel Eilenberg により、より一般的な形で定義されました。このように、カップ積は代数トポロジーの中で重要な役割を果たしており、様々な応用があります。

定義と構成

特異コホモロジーの文脈において、カップ積は位相空間 X の次数付きコホモロジー環 H∗(X) 上の演算として定義されます。この演算は、コチェインの積を最初に考えることから始まります。具体的には、p-コチェイン cp と q-コチェイン dq が与えられたとき、そのカップ積は以下のように定義されます：

$$
(c^{p} rown d^{q})( au) = c^{p}( au igcirc
u_{0,1, ext{...},p}) imes d^{q}( au igcirc
u_{p,p+1, ext{...},p+q})
$$

ここで、σ は特異な (p + q)-単体で、ν は標準的な埋め込みを示します。直感的には、$σ igcirc
u_{0,1, ext{...},p}$ はσのp番目の前面を表し、$σ igcirc
u_{p,p+1, ext{...},p+q}$ はそのq番目の後面になります。

コサイクル cp および dq のカップ積のコバウンダリは、次のように与えられます：

$$
ext{δ}(c^{p} rown d^{q}) = ext{δ}(c^{p}) rown d^{q} + (-1)^{p}(c^{p} rown ext{δ}(d^{q}))
$$

この性質により、カップ積は再びコサイクルを生成し、コバウンダリとコサイクルの積はコバウンダリであることが確認されます。したがってカップ積はコホモロジー上の双線型演算を誘導し、次のように表現されます：

$$
H^{p}(X) imes H^{q}(X) o H^{p+q}(X)
$$

性質

コホモロジーにおけるカップ積は、次の恒等式を満たします：

$$
ext{α}^{p} rown ext{β}^{q} = (-1)^{pq} ( ext{β}^{q} rown ext{α}^{p})
$$

この関係により、カップ積は次数付き可換であることがわかります。また、カップ積は連続写像と関係性があり、任意の連続写像 f が次の式を満たすことが示されています：

$$
f^{}( ext{α} rown ext{β}) = f^{}( ext{α}) rown f^{}( ext{β})
$$

すなわち、f は（次数付き）環準同型になります。

その他の関連概念

カップ積は微分形式や幾何学的交叉とも関連しています。ド・ラームコホモロジーにおける微分形式のカップ積は、ウェッジ積によって誘導されます。さらに、滑らかな多様体の部分多様体の交差は、ホモロジーの双線形な積を提供し、これはカップ積に双対であることが示されています。

また、カップ積から一般化された Massey積と呼ばれる三項およびそれ以上の演算が定義されており、これにより高次のコホモロジー演算が可能になります。

関連項目

• - 特異ホモロジー
• - ホモロジー論
• - キャップ積
• - Massey積
• - Torelli群

参考文献

• - James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984)
• - Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993)
• - Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002)

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