準同型

準同型の概要

代数学の分野において、「準同型」とは、異なる代数系間の関係を示す概念であり、これらの体系間において演算の構造を維持する写像を指します。具体的には、同類の代数系どうしでの演算が、ある種の操作を通じてどのように対応するかを体現したものです。これに対し、同じ構造を持つ場合を指す「同型」についても触れる必要があります。

定義

準同型写像とは、代数系間の演算を保つマッピングとして定義されます。言うなれば、代数系 A と B があった場合、準同型写像 f: A → B は、A の任意の元 x, y に対して以下の性質を満たすものです：

$$
f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y)
$$

ここで ⋅ は演算を示し、A と B におけるその演算形態は同様です。これにより、代数系間の構造的連関が確実に保たれます。

構造の一般化

この準同型は、より一般的な形にも拡張されます。演算が k 個の引数を持つ場合、準同型写像は次のように定義されます：

$$
f(μ_A(a_1, …, a_k)) = μ_B(f(a_1), …, f(a_k))
$$

ここで、$μ_A$ および $μ_B$ はそれぞれ A と B における k 項演算を示します。また、準同型は常に単射であるとは限らず、その性質は様々です。

自己同型と自己準同型

代数系 (A, R) における自己準同型 f: A → A は、同一の集合内での準同型を意味します。特に、f が同型であれば、その写像はより特別な性質を持ち、自己同型として扱われることになります。自己同型全体の集合は群の構造を持ち、自己同型群と呼ばれます。

準同型の例

マグマの準同型

集合 M に二項演算 α が定義されているとき、二つのマグマ (M, α) と (N, β) がある場合の準同型 f は、以下のように定義されます：

$$
f(xαy) = f(x)βf(y)
$$

ここで x, y は M の元を意味します。

群の準同型

群においては、積と呼ばれる二項演算と単位元、逆元が定義されます。二つの群 G と H の準同型 f: G → H は次の条件を満たします：

1. $$
f(x_1 × x_2) = f(x_1) ×' f(x_2)
$$
2. $$
f(1_G) = 1_H
$$
3. $$
f(x^{-1}) = f(x)^{-1}
$$

線型写像

体 K 上のベクトル空間 V における準同型写像は線型写像と呼ばれ、加法とスカラー倍の両方の演算が保たれることが求められます。

構造の保持

代数系が持つ構造によっては、準同型もその構造を考慮する必要があります。たとえば位相空間を持つ場合、準同型は連続な写像として定義されます。同じく、順序体における準同型は単調な写像として扱われ、これらは単に写像としての枠を超えた関係を示しています。

結論

準同型は、異なる代数系間における構造を保つ重要な概念であり、様々な数学的領域で広く応用されています。各種の体、群、さらにはベクトル空間においてその特性が際立ち、それぞれの演算の条件を満たしながら相応に対応した関係を築き上げます。

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