カノニカル相関

カノニカル相関とは

統計力学におけるカノニカル相関は、熱平衡状態にある系における二つの物理量間の相関を表す関数です。具体的には、以下のような式で定義されます。

math
\langle \hat{X};\hat{Y}\rangle_{\mathrm{eq}} = \frac{1}{\beta}\int_{0}^{\beta} \langle e^{\lambda \hat{H}_{0}}\hat{X}e^{-\lambda \hat{H}_{0}}\hat{Y}\rangle d\lambda = \frac{1}{\beta} \frac{\operatorname{Tr} [e^{-\beta \hat{H}_{0}}\int_{0}^{\beta}e^{\lambda \hat{H}_{0}}\hat{X}e^{-\lambda \hat{H}_{0}}\hat{Y}d\lambda ]}{\operatorname{Tr} [e^{-\beta \hat{H}_{0}}]}


ここで、

$\langle \quad \rangle$ はカノニカル分布による平均を表します。
$\hat{X}$, $\hat{Y}$ は系の物理量を表す演算子です。
$\hat{H}_0$ は系のハミルトニアンです。
$\beta = 1/k_BT$ は逆温度です($k_B$はボルツマン定数、$T$は絶対温度)。

このカノニカル相関は、熱平衡状態にある系の線形応答や、熱平衡近傍での線形不可逆過程を扱う上で、量子統計力学において基本的な役割を果たします。

カノニカル相関の性質

カノニカル相関は以下の重要な性質を持ちます。

対称性

物理量 $\hat{X}$ と $\hat{Y}$ のカノニカル相関は、その順序を入れ替えても値が変わりません。

math
\langle \hat{X};\hat{Y}\rangle_{\mathrm{eq}} = \langle \hat{Y};\hat{X}\rangle_{\mathrm{eq}}

時間微分との関係

物理量 $\hat{X}$ の時間微分 $\dot{\hat{X}}$ と $\hat{Y}$ のカノニカル相関は、カノニカル分布における平均を用いて以下のように表すことができます。

math
\beta \langle \dot{\hat{X}};\hat{Y}\rangle_{\mathrm{eq}} = \frac{1}{i\hbar} \langle [\hat{X},\hat{Y}]\rangle


ここで、$\hbar$はプランク定数を2πで割ったもの、$[\hat{X},\hat{Y}] = \hat{X}\hat{Y} - \hat{Y}\hat{X}$は交換子を表します。この式は、カノニカル相関が物理量の時間変化と密接な関係があることを示しています。

古典力学との関係

古典力学においては物理量は交換可能であるため、カノニカル相関は単純な相関関数と一致します。

math
\langle \hat{X};\hat{Y}\rangle_{\mathrm{eq}} = \langle \hat{X}\hat{Y}\rangle


このことは、カノニカル相関が相関関数の量子力学的な拡張であることを示しています。

エルミート演算子の場合

$\hat{X}$ と $\hat{Y}$ がエルミート演算子である場合、カノニカル相関は実数となります。これは、物理量が実数に対応する演算子で表されるという物理的な要請から自然に導かれます。

フーリエ変換との関係

カノニカル相関のフーリエ変換 $\Lambda_{X,Y}(\omega)$ と、通常の相関関数のフーリエ変換 $C_{XY}(\omega)$ の間には、以下の関係が成り立ちます。

math
\Lambda_{X,Y}(\omega) = \frac{1-e^{-\beta \hbar \omega}}{\beta \hbar \omega}C_{XY}(\omega)


この関係式は、量子効果を考慮した相関関数を議論する上で重要な役割を果たします。特に、低温極限や高周波領域では、この関係式から古典的な相関関数からのずれが顕著になります。

まとめ

カノニカル相関は、統計力学において熱平衡状態にある系の物理量間の相関を記述するための重要な概念です。その定義、性質、および関連する概念との関係を理解することで、量子統計力学における線形応答や不可逆過程の解析をより深く行うことができます。

参考文献

『物理学辞典』 培風館、1984年

関連項目

カノニカル分布
久保公式
グリーン-久保公式
* 線形応答理論

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