久保公式

久保公式 (くぼこうしき)

久保公式は、物理系が外部からの弱い時間依存的な影響（摂動）を受けた際に、その物理量がどのように応答するかを記述するための基本的な関係式です。特に、系の応答が摂動の強さに比例する「線形応答」の範囲で適用されます。この公式は、非平衡状態における系の振る舞いを、平衡状態の情報に基づいて理解することを可能にします。

公式の背景

まず、外部からの影響がない状態で熱平衡にある量子系を考えます。この系の状態は、時間に依存しないハミルトニアンで記述され、測定可能な物理量の平均値（期待値）は、ボルツマン分布に従う平衡状態の統計的な平均として与えられます。これは系の基本的な性質を表します。

次に、この平衡状態にある系に対し、ある時刻から弱い時間依存的な摂動が加わると仮定します。この摂動は、時間に依存する追加のハミルトニアンとして系の全エネルギー演算子に組み込まれます。摂動が加わると、系の状態は平衡からずれ始め、物理量の期待値も時間と共に変化します。この時間的な変化は、量子力学の基本方程式であるシュレーディンガー方程式に従って記述されます。

線形応答の考え方と導出

摂動が十分に弱い場合、系の状態の変化や物理量の応答は、摂動の大きさにほぼ比例すると考えられます。これを「線形応答近似」と呼びます。久保公式はこの線形応答の範囲で導出されます。

導出にあたっては、系の時間発展を記述する際に、「相互作用描像」という形式がしばしば用いられます。これは、時間に依存しない本来のハミルトニアンによる時間発展と、摂動による時間発展を分けて扱う方法で、摂動が小さい場合に計算を簡略化できます。

線形応答近似の下で、摂動が加わった後の物理量Aの期待値が、摂動がない場合の平衡期待値からどれだけ変化したかを計算すると、その変化量はある重要な関係式で表されることが示されます。

具体的には、時刻 \(t_0\) から始まった摂動 \(V(t')\) による時刻 \(t\) での物理量 \(A\) の期待値の変化 \(\delta \langle A(t) \rangle = \langle A(t) \rangle - \langle A \rangle_0\) は、過去の様々な時刻 \(t'\) (\(t_0 \le t' \le t\)) における摂動 \(V(t')\) と時刻 \(t\) における物理量 \(A(t)\) を表す演算子の「交換子」、すなわち \([A(t), V(t')] = A(t)V(t') - V(t')A(t)\) の平衡状態での平均値を、過去の時間にわたって積分した形になります。

この公式は、形式的に以下のように書くことができます（詳細な数式表現は省きますが、構造を示します）：

\(\delta \langle A(t) \rangle \propto -i \int_{t_0}^{t} dt' \langle [A(t), V(t')] \rangle_0\)

ここで、\(\langle \dots \rangle_0\) は摂動がない場合の平衡状態での平均を表します。この式は、現在の応答（物理量Aの変化）が、過去の摂動の影響の積み重ねによって決まること、そしてその影響の仕方が物理量Aと摂動Vの演算子の非可換性（交換子の値）に関連していることを示しています。これは、量子系の動的な応答と、平衡状態での微視的なゆらぎ（相関関数）を結びつける非常に強力な結果です。

意義と応用

久保公式は、電気伝導率、熱伝導率、誘電率、磁化率といった様々な輸送係数や緩和現象を、系の微視的な構造や相互作用から理論的に計算するための出発点となります。これらの現象は、外部からの電場や温度勾配、磁場などの摂動に対する系の線形応答として理解できるためです。

より進んだ理論では、この公式は「グリーン関数」という数学的な道具を用いて定式化されることもあり、「グリーン-久保公式」と呼ばれることもあります。これは線形応答理論の中核をなす概念の一つです。

関連事項

線形応答理論
グリーン-久保公式

[関連情報へのリンク]
* 『久保の公式』 - コトバンク

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