カルタン部分環

カルタン部分環について

数学の分野において、カルタン部分環はリー環の重要な構成要素です。カルタン部分環とは、リー環 $\mathfrak{g}$ の冪零部分環 $\mathfrak{h}$ で、任意の元 $X \in \mathfrak{h}$ に対して、他の元との交換が再び $\mathfrak{h}$ に留まるような要素 $Y$ が含まれる条件を満たすものです。エリ・カルタンによって彼の博士論文で紹介されました。

存在と一意性

無限体の基礎体を持つ場合、カルタン部分環は常に有限次元リー環に存在します。また、体が標数0の代数閉体であるとき、すべてのカルタン部分環はリー環の自己同型のもとで共役であり、つまり同型でもあります。このカルタン部分環の次元はリー環の階数（ランク）と呼ばれます。例えば、カッツ・ムーディ・リー環やその一般化もカルタン部分環を有します。

性質

標数0の代数閉体上の有限次元半単純リー環において、カルタン部分環は可換であるという性質があります。また、随伴表現に関する特性では、ウェイト空間を制限した場合、表現が対角化され、0 ウェイトベクトルの固有空間はカルタン部分環自身で構成されます。このことから、中心化リー環も同様に元のカルタン部分環と一致します。非零ウェイトは「ルート」と呼ばれるもので、関連する固有空間は「ルート空間」とし、通常は1次元を持ちます。

また、もし $\mathfrak{g}$ が代数閉体上の線型リー環であるならば、任意のカルタン部分環は極大トーラス部分リー環の中心化リー環である、すなわち、対角化可能な元からなる部分環です。極大トーラス部分環がself-normalizingであるため、カルタン部分環の一種となります。特に、半単純の場合、部分環がカルタンであることと極大トーラスであることが同値であり、これはその存在を示す上で有益な性質です。このような部分環の存在証明を行う際に、冪零元のみによって構成されると矛盾が生じることが示されます。

例

例えば、任意の冪零リー環は自らのカルタン部分環を持ち、体上の $n \times n$ 行列のリー環はすべて対角行列からなります。また、トレースが0となる2次正方行列のリー環 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ には、2つの共役でないカルタン部分環が存在します。このカルタン部分環の次元は、一般的に可換部分環の最大次元でない無限の例も存在します。

分裂型カルタン部分環

代数閉でない体上では、カルタン部分環は共役でないこともあります。この中でも分裂型カルタン部分環が重要です。リー環が分裂カルタン部分環 $\mathfrak{h}$ を持っている場合、それは「分裂可能（splittable）」と呼ばれ、対 $(\mathfrak{g}, \mathfrak{h})$ のペアは分裂型リー環となります。代数閉体上では、すべての半単純リー環が分裂可能とされ、いかなる2つの分裂型カルタン環も共役です。このため、代数閉体上の半単純リー環と多くの性質を共有します。ただし、代数閉でない体上では、全ての半単純リー環が分裂可能ではありません。

参考文献

• - Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd ed.).
• - Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras.
• - Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory.
• - Popov, V.L. (2001), “Cartan subalgebra”, Encyclopedia of Mathematics.

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