半径

半径 (Radius)

幾何学において、半径は円や球などの中心から周囲に向かう距離を意味します。英語の"radius"はラテン語の「光線」や「輻」から派生した言葉で、一点から放射状に伸びる線分を指します。この概念は、幾何学の基本的な要素の1つであり、様々な図形や数学的な公式で使用されます。

半径の表記

通常、半径は文字"r"で表されることが一般的です。この省略形は1569年にピエール・ラムスによって初めて使用されました。半径が長さに基づく様々な公式において、特に円の直径を求める際に重要な役割を果たします。具体的には、半径の2倍が直径（d）という関係が成り立ちます。

$$
d := 2r \\
(\implies r = \frac{d}{2})
$$

円の周長Cに関して、半径は以下のように求められます。

$$
r = \frac{C}{2\pi}
$$

正多角形における半径

正多角形の場合、半径が言及されると通常は外半径（外接円の半径）を指します。一方、内半径は辺心距離と呼ばれる別の概念です。更に、中心を持たない幾何学的対象に対しては、「最小包含半径」という意味で使用されることもあります。この文脈では、半径は直径の半分より大きくなる可能性があります。

日常の用語において、特定の空間内の輪や筒の内部に存在する円の最大の半径を指す「内半径」の定義も挙げられます。加えて、グラフ理論においては、グラフの各頂点から他の頂点までの距離を考え、その最大距離の最小値を半径として定義します。

半径公式

様々な図形に対して、半径は具体的かつ矛盾なく定義できます。円の場合、面積Aを使った半径の公式があります。

$$
r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}
$$

三点P1, P2, P3によって形成される円の半径は、三点の位置によっても決まります。具体的には以下のような式が成立します。

$$
r = \frac{|{\vec{OP_1}} - {\vec{OP_3}}|}{2 \sin \theta} \\ \theta = \angle P_1P_2P_3
$$

また、三点の座標が与えられた場合の公式は次の通りです。

$$
r = \frac{\sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2][(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2][(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2]}}{2 |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 - x_3y_2|}
$$

正多角形の半径

正n角形に対して、一辺の長さsの半径は以下で与えられます。

$$
r = R_n s \\ (R_n := \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})})
$$

また、d次元の超立方体においては、一辺の長さがsである時、その半径は次のように計算されます。

$$
r = \frac{s}{2} \sqrt{d}
$$

座標系における動径と半径

特定の座標系において、半径は動径とも称されます。平面や三次元空間においては、動径が一定の点の軌跡が円や球面に該当します。

極座標系

極座標系では、平面上の点は特定の点からの距離と方向によって決定されます。このとき、距離は動径座標と呼ばれ、特定の方向を指示する極線が存在します。

円筒座標系

円筒座標系では、基準となる軸と平面が設定され、動径の値はこの軸からの距離を表します。動径とともに、角度座標も定義されます。

球面座標系

球面座標系では、動径の大きさが原点からの距離を示し、極角と方位角で位置が決まります。これにより、三次元空間内の位置を正確に表現できます。

以上のように、半径は幾何学における重要な概念であり、様々な図形や数式と密接に関連しています。

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