垂足曲線

垂足曲線

垂足曲線（すいそくきょくせん、英: pedal curve）とは、平面上の曲線Cと、その平面上に固定された点P（これを垂足点またはpedal pointと呼びます）が与えられたときに定義される曲線です。具体的には、曲線C上の各点における接線に対し、垂足点Pからその接線へ下ろした垂線の足（接線と垂線の交点）が描く軌跡を指します。これは、曲線Cの接線が動くにつれて、点Pの接線への「影」のようなものが作り出す図形とも言えます。

逆に、曲線C上の任意の点Rを通る接線Tに対して、もし点Pを通過するような垂線が存在するならば、その垂線と接線Tの交点となる垂足Xの集まりは、点Pを垂足点とする曲線Cの垂足曲線を形成します。

関連する曲線

垂足曲線は、いくつかの関連する曲線と共に考察されることがあります。

対垂足曲線（Contrapedal Curve）

垂足Xに対応する点として、四角形PXRYが長方形となるような点Yを考えます。元の曲線C上の点Rが動くにつれて、この点Yが描く軌跡を対垂足曲線（contrapedal curve）と呼びます。

火線（Orthotomic）

垂足点Pを中心として、垂足Xの位置を2倍に拡大した点の軌跡を火線（orthotomic）と呼びます。別の定義では、点Pを曲線Cの各接線Tに対して鏡映（対称移動）した点の軌跡が火線となります。

垂足曲線の系列

曲線C0から始め、その垂足曲線をC1、さらにC1の垂足曲線をC2というように連続して垂足曲線を生成していくことができます。このとき、曲線CnはC0の「n番目の正垂足曲線」と呼ばれます。逆に、C0はCnの「n番目の負垂足曲線」または「逆垂足曲線」と称されます。

方程式による表現

垂足曲線は、数学的な方程式を用いて解析的に扱うことができます。

各座標系でのアプローチ

垂足曲線の方程式は、用いる座標系によって異なる形で表されます。例えば、直交座標系において垂足点Pを原点に置く場合、元の曲線Cの接線の方程式を利用して垂足の座標を導き、その軌跡を求めることで垂足曲線の方程式が得られます。楕円 `x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1` の垂足点を原点とする垂足曲線は、デカルト座標で `a^2x^2 + b^2y^2 = (x^2+y^2)^2` という四次曲線となります。

極座標系で垂足点Pを原点とする場合も同様に、元の曲線の極方程式から垂足の極座標を導出して、垂足曲線の極方程式を求めます。特に、垂足点を円周上に持つ円の垂足曲線は、極方程式 `r = a cos^2(θ/2)` で表される蝸牛形となります。

また、曲線の垂足座標 (p, r) を用いた垂足方程式による表現も有効です。元の曲線の垂足方程式 `f(p, r) = 0` が分かっている場合、垂足曲線の垂足方程式は `f(r, r^2/p) = 0` という比較的簡単な関係式から得られます。

パラメトリック表示された曲線に対しても、垂足点からの垂足の座標をパラメータで表す公式が存在します。

幾何学的な性質

垂足曲線はその定義から興味深い幾何学的性質を導きます。曲線C上の点Rでの接線Tと、PからTへ下ろした垂線の足Xは、直角三角形PRXを形成します。また、四角形PXRYが長方形となる点Yをとると、垂足曲線上の点Xにおける接線は、線分XYに対して垂直になります。

重要な性質として、元の曲線C上の点Rと垂足点Pを直径の両端とする円を考えると、この円は常に垂足曲線に接するという性質があります。このことから、垂足曲線は、直径をPRとする円の包絡線として定義することも可能です。

点Rにおける曲線Cの法線（接線に垂直な線）は直線YRに一致します。この法線全体の包絡線は、曲線Cの縮閉線（evolute）です。そして、点Yは、垂足点Pを元の曲線の縮閉線の接線に下ろした垂線の足となるため、対垂足曲線は元の曲線の縮閉線の垂足曲線であるという関係が成り立ちます。

火線についても、垂足点Pを接線Tで鏡映した点の軌跡という定義から、様々な性質が導かれます。火線はある種の輪転曲線（roulette）としても解釈できます。また、元の曲線Cを点Pを中心として2倍縮小した曲線C'を考えると、Cの火線はC'の火線に一致するという性質も持ちます。

具体例：円の垂足曲線

最も有名な垂足曲線の例は、円の垂足曲線です。特に垂足点が円周上にある場合、その垂足曲線は蝸牛形（limacon of Pascal）と呼ばれる曲線となります。この蝸牛形は、以下のように様々な方法で定義できる多面的な曲線です。

円の垂足曲線（垂足点が円周上にある場合）として
ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線として
中心が円上にあり、固定点を通る円の包絡線として
同じ半径を持つ円の外周を、同じ半径の別の円が滑らずに転がるとき、転がる円周上の点が描く軌跡（カージオイド）の一般形として

円の火線は、この蝸牛形の縮閉線となるなど、関連曲線との間に興味深い関係が見られます。

垂足曲線は、平面曲線論における基本的な概念であり、その定義から派生する対垂足曲線、火線、あるいは包絡線や縮閉線、輪転曲線といった他の曲線との関係性を通じて、多様な幾何学的性質が明らかになります。

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