カーライル円

カーライル円とは

カーライル円（Carlyle circle）は、数学において、二次方程式と密接に関連する円であり、座標平面上で定義されます。この円の最大の特徴は、特定の二次方程式の実数解が、円と水平軸（x軸）との交点のx座標として視覚的に現れる点です。この性質を利用することで、カーライル円は、定規とコンパスのみを用いた正多角形の作図という古代からの幾何学的な難問を解決するための道具としても活用されてきました。

カーライル円の定義

二次方程式


x² - sx + p = 0


に対して、カーライル円は、座標平面上の2点 A(0, 1) と B(s, p) を結ぶ線分を直径とする円として定義されます。

方程式との関係性

線分ABを直径とする円の方程式は、以下のようになります。


x(x - s) + (y - 1)(y - p) = 0


この円とx軸との交点（x切片）を求めるには、上記の方程式に y = 0 を代入します。すると、以下の二次方程式が得られます。


x² - sx + p = 0


この方程式は、カーライル円の定義に用いた二次方程式と一致します。このことから、カーライル円とx軸との交点のx座標が、元の二次方程式の解となることがわかります。

正多角形の作図への応用

カーライル円は、特に正多角形の作図においてその有用性が発揮されます。

正五角形の作図

正五角形の作図は、複素数解を求める問題と同値であり、具体的には方程式 z⁵ - 1 = 0 を解くことに帰着します。この方程式の解の一つは z₀ = 1 であり、これは点P₀(1, 0)に対応します。この解に対応する因数(x - 1)で左辺を割ると、方程式は以下のようになります。


z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0


この方程式の解を ω = exp(2πi/5) を用いて表すと、ω, ω², ω³, ω⁴ となります。これに対応する点をそれぞれP₁, P₂, P₃, P₄とします。さらに、p₁ = ω + ω⁴, p₂ = ω² + ω³ とおくと、p₁ + p₂ = -1, p₁p₂ = -1 が成立し、p₁, p₂ は以下の二次方程式の解となります。


x² + x - 1 = 0


この二次方程式に対するカーライル円は、線分(0, 1)と(-1, -1)を直径とする円であり、中心は(-1/2, 0)にあります。この円を使って、点(p₁, 0)と点(p₂, 0)を作図することができます。さらに、定義よりp₁ = 2cos(2π/5), p₂ = 2cos(4π/5)を満たすため、これらの点を用いて正五角形の頂点を求めることが可能です。

正五角形の具体的な作図手順

1. 中心Oの円Cを描き、これが正五角形の外接円となる。
2. 円の中心を通る水平線を引き、円Cとの交点の一つをBとする。
3. Oを通り水平線に垂直な直線を引き、円Cとの交点の一つをAとする。
4. OBの中点Mを取る。
5. Mを中心としAを通る円Dを描き、水平線との二つの交点をW, Vとする（Wは円Cの内部、Vは外部）。
6. 半径OA、中心Wの円Eを描き、円Cとの交点が正五角形の二つの頂点となる。
7. 半径OA、中心Vの円Fを描き、円Cとの交点が正五角形の別の二つの頂点となる。
8. 残りの頂点は、水平線と円Cの交点となる。

その他の正多角形

同様の手法を用いて、正十七角形や正257角形、さらには正65537角形まで作図することが可能です。ただし、正257角形の作図には24個のカーライル円が必要であり、正65537角形の作図は、巨大な円を描く必要があるなど、現実的な問題に直面します。

歴史

カーライル円の概念は、数学者ジョン・レスリーが自身の著書「幾何学要素」の中で、教え子であるトーマス・カーライルのアイデアに基づいた二次方程式の幾何学的解法を紹介したことに端を発します。ただし、レスリーの記述は初等幾何学的な用語に限定されており、直交座標系や二次方程式の根といった現代的な概念は含まれていませんでした。

その後、1867年にオーストリアの技術者エドゥアルト・リルが、多項式の根を求める図形的な方法（リルの方法）を発表し、二次関数に応用した際、カーライル円の直径が斜辺となる台形が得られました。G. A. ミラーは、規格化された二次方程式にリルの方法を適用することで、その根を得られることを示し、現代的なカーライル円の定義を明確にしました。ハワード・イーブスは、著書の中で現代的なカーライル円を紹介し、レスリーやカーライルとの関連性を指摘しました。以降、カーライル円は「カーリー円」や「カーライル法」などとも呼ばれるようになり、ドイツ語圏では「リル円」とも呼ばれています。

デ・テンプルは、カーライル円を使った定規とコンパスによる正多角形の作図法を考案し、特に正五角形、正十七角形、正257角形、正65537角形などの作図法を確立しました。また、ラディスラフ・ベランは、カーライル円を使って規格化された二次方程式の複素数根を作図する方法を示しました。

カーライル円は、その幾何学的な美しさと、二次方程式の解を視覚化する力を持ち、数学における重要な概念の一つとして、今日まで研究され続けています。

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