カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ

カール・グスタフ・ヤコビの生涯と業績

生涯

カール・グスタフ・ヤコビ（1804年 - 1851年）は、ドイツ出身の著名な数学者で、ユダヤ人の家庭に生まれました。彼はベルリン大学での学びを経て、1825年に哲学博士号を取得します。博士論文は部分分数の理論に関する解析であり、ここから彼の数学に対する業績が始まります。1827年にはケーニヒスベルク大学で数学の員外教授として教鞭を執り、その後1829年には正教授に昇進しました。1842年に健康を損ない療養のためにイタリアに訪れた後、ベルリンに戻り、国王から年金を得て生活を続けました。

業績

ヤコビは1829年に「楕円関数論の新たなる基礎」を発表し、楕円関数に関する重要な研究を展開しました。この論文は特に数理物理学において重要であり、運動エネルギー方程式の積分に関連する問題を扱いました。彼は運動方程式が可積分性を持つ場合について、特に「振り子」「重力場内の対称こま」「自由回転体」の三つの条件を指摘しました。

ヤコビと同時代の数学者ニールス・アーベルとの研究競争も有名であり、二人の間で楕円関数の進展を巡る激しい議論が交わされました。アーベルが他界した後、ヤコビは彼の業績を引き継ぎ、さらに発展させていきました。また、ヤコビはラグランジュの四平方定理を楕円関数に応用し、精密さを増した「ヤコビの四平方定理」を導き出しました。

また、彼のテータ関数は超幾何級数の研究に寄与し、その功績は現在でも評価されています。微分方程式に関する研究や、解析学におけるヤコビの最終乗式の理論は、彼の著作『Vorlesungen über Dynamik』に収められています。解析学における彼の成果は、特にヤコビアンと呼ばれる行列式の理論の創出を含むもので、これは数学の多くの分野で基盤を形成する重要な概念です。

1835年には、一般的な五次方程式を簡約化する方法を証明しました。ヤコビのアーベル関数に関する貢献もまた、数論の発展に寄与し、彼の研究はカール・フリードリヒ・ガウスの業績を補完するものと評価されています。さらに、特定の力学に関する問題にも興味を持ち、ヤコビ積分を導入するなどの業績を残しました。

ヤコビが亡くなった際には、多くの未発表の原稿が手元に残され、彼の業績は後に『クレレ・ジャーナル』などに掲載されています。彼の著作物には『運動の二重積分の変換』や『算術の基板』などがあり、ベルリン大学では彼の業績が集められた「Gesammelte Werke」が1881年から1891年にかけて刊行されました。特に著名な業績のひとつに、解析力学におけるハミルトン-ヤコビ方程式があります。

大学や高等教育機関では、解析学や微分方程式の学習においてヤコビの業績に触れる機会が多く、彼の考案した関数行列式（ヤコビアン）やヤコビ恒等式は、ベクトル理論の研究でもしばしば登場します。現在でも、数論や暗号学の分野でヤコビ記号が使われており、彼の遺産は今なお数学界に大きな影響を与えています。

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