五次方程式

五次方程式とは

五次方程式とは、次数が5である代数方程式のことです。一般的に、一変数の五次方程式は以下のように表現されます。


a₅x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = 0 (a₅ ≠ 0)


ここで、a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ は係数であり、xが変数です。

概要

代数学の基本定理によれば、任意の複素数係数の方程式は複素数の中に必ず解を持ちます。しかし、五次以上の方程式については、一般的な代数的解法（四則演算とべき根の組み合わせ）が存在しないことが知られています。つまり、一般の五次方程式に対して、係数と有理数の四則演算とべき根のみを用いて根を表す公式は存在しません。この事実は、ルフィニやアーベルによって証明され（アーベル-ルフィニの定理）、方程式が代数的に解ける条件はガロアによって理論的に裏付けられています（ガロア理論）。

ただし、代数的な解法は存在しないものの、楕円関数などを用いた超越的な解法は存在します。

解の公式

五次方程式の解を構成する方法として、以下の2つが知られています。

1. レベル5のモジュラー方程式の解を利用する方法
2. 超幾何級数を利用する方法

これらの解法は、それぞれエルミートとクラインによって導出されました。

エルミートによる解法

エルミートは、以下の3つの事実を組み合わせることで五次方程式の解を構成しました。

1. 任意の五次方程式は、代数的な操作によってブリング-ジェラードの標準形に変形できる。
2. レベル5のモジュラー方程式の解が具体的に求められる。
3. これらの解のある特定の組み合わせが五次方程式を満足し、ブリング-ジェラードの標準形と関連付けられる。

ブリング-ジェラードの標準形

任意の五次方程式


x⁵ + a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = 0


は、チルンハウス変換


y = x⁴ + b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀


において、係数bᵢを適切に選ぶことで、ブリング-ジェラードの標準形


y⁵ + y + b = 0


に変形できます。この変形により、複雑だった五次方程式がシンプルな形に帰着されます。

レベル5のモジュラー方程式

複素トーラスの周期をω₁, ω₂とし、τ = ω₂/ω₁と定義します。τは純虚数と仮定し、q = exp(iπτ)と定義します。

qとqⁿが満たす関係式、またはτとnτが満たす関係式を「レベルnのモジュラー方程式」と呼びます。この方程式は以下の形で表されます。


L'/L = nK'/K


ここで、K, Lは母数k, lの第一種完全楕円積分であり、K', L'は母数k' = √(1-k²), l' = √(1-l²)の第一種完全楕円積分です。

n=5の場合、τと5τは次の関係式を満たします。


F[-⁴√κ(5τ), ⁴√κ(τ)] = 0
F(x, y) = x⁶ - y⁶ + 5x²y²(x² - y²) - 4xy(x⁴y⁴ - 1) = 0


この関係式から、五次方程式の解を構成するための重要な要素が得られます。

解の構成

上記のモジュラー方程式の解とブリング-ジェラードの標準形を組み合わせることで、五次方程式の解を構成できます。具体的には、ある変換によって、五次方程式はモジュラー方程式の解と関連付けられ、最終的に解が求められます。この過程には、楕円関数や超越的な操作が含まれます。

クラインによる解法

クラインは、五次方程式を正二十面体方程式（60次方程式）に帰着させ、その解を超幾何関数で表現する方法を提案しました。正二十面体を二次元球面S²に内接させ、それをリーマン球面（複素射影直線）と同一視し、その斉次座標をz₁, z₂として、以下の式を得ます。


f = z₁z₂(z₁¹⁰ + 11z₁⁵z₂⁵ - z₂¹⁰)
H = -(z₁²⁰ + z₂²⁰) + 228(z₁¹⁵z₂⁵ - z₁⁵z₂¹⁵) - 494z₁¹⁰z₂¹⁰
T = (z₁³⁰ + z₂³⁰) + 522(z₁²⁵z₂⁵ - z₁⁵z₂²⁵) - 10005(z₁²⁰z₂¹⁰ + z₁¹⁰z₂²⁰)


これらの式を用いて、以下の式を定義します。


q(z) = H(z₁, z₂)^3 / (1728f(z₁, z₂)^5)


q(z) = u は60次の方程式であり、正二十面体方程式と呼ばれます。この方程式の解は、ガウスの超幾何関数を用いて表すことができます。

限定的な代数的解法

一般の五次方程式は代数的に解けませんが、特定の五次方程式が代数的に解ける条件も存在します。例えば、ラグランジュが用いた手法を五次方程式に適用すると、以下の置換を考察することになります。


x = (α₁ + ζα₂ + ζ²α₃ + ζ³α₄ + ζ⁴α₅)⁵


ここで、ζは1の原始5乗根です。この場合、5次対称群の位数は120であり、出現する式は5次巡回群の位数である5で割った24通りとなります。このため、解かなければならない方程式は24次となり、困難が増します。アーサー・ケイリーが与えた以下の置換がより良い結果をもたらします。


x = (α₁α₂ + α₂α₃ + α₃α₄ + α₄α₅ + α₅α₁ - α₁α₃ - α₂α₄ - α₃α₅ - α₄α₁ - α₅α₂)²


この場合、現れる式の値は6通りとなり、xの6次方程式を解くことに帰着します。この方程式が代数的に解ける場合（例えば、根の平方根が有理数になる場合など）、元の五次方程式も代数的に解けます。これが、五次方程式が代数的に解けるための必要十分条件となります。

超冪根による解法

四則演算と通常の冪根に加えて、超冪根（x⁵ + x - a = 0 の実根）も代数的演算として認める場合、一般の五次方程式は代数的に解けることが知られています。

ガロア群

方程式が係数体上で既約である場合、そのガロア群は推移群となります。5次の推移群は以下の5種類です。

S₅ (対称群、位数120)
A₅ (交代群、位数60)
B'₅ (メタ巡回群、位数20)
B₅ (半メタ巡回群、位数10)
C₅ (巡回群、位数5)

既約な有理数係数の五次方程式のガロア群の位数は、これらのいずれかになります。方程式が代数的に解けるのは、ガロア群が可解である（位数が20, 10, 5の場合）に限られます。

関連項目

アーベル-ルフィニの定理
ガロア理論
群論（可解群）
* ヤコビの虚数変換式

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