ガウシアンビーム

ガウシアンビームとは

光学におけるガウシアンビームとは、電磁波の一種であり、その特徴は、光軸に垂直な面内における電場と強度の分布が、ガウス分布によって近似できることです。多くのレーザーは、このガウス分布に近い強度分布を持つビームを発します。このようなレーザーでは、共振器が基本横モード、または「TEM00モード」で発振しています。

ガウシアンビームは、回折限界のレンズで屈折させた場合でも、別のガウシアンビームに変換されるという性質を持ちます。この特性から、数学的な取り扱いが容易であるため、レーザー光学の分野では、数理モデルとして広く採用されています。

ガウシアンビームの数学的表現

ガウシアンビームは、ヘルムホルツ方程式の近軸近似の下での解として、数学的に示すことができます。この解はガウス関数の形をとっており、ビームの電場の複素振幅を表しています。このビームの重要な特徴は、電場と磁場が電磁波として一体となって伝播するため、どちらか一方のみでビームの特性を記述できる点です。

ガウシアンビームの伝播特性は、スポットサイズ、曲率半径、グイ位相といったわずかなパラメータによって記述できます。近軸近似におけるヘルムホルツ方程式には、ガウシアンビーム以外にも様々な解が存在します。デカルト座標系で解いた場合はエルミート・ガウシアンモード、円筒座標系で解いた場合はラゲール・ガウシアンモードと呼ばれる解が得られます。これらの解の中で、最低次の解がガウシアンビームに対応し、高次の解は共振器の高次横モードに対応します。

数学的形式

ガウシアンビームはTEMモードの一つであり、その複素電場強度は近軸ヘルムホルツ方程式を解くことで得られます。具体的な表式は以下の通りです。


E(r,z) = E_0 (w_0 / w(z)) exp(-r^2 / w(z)^2) exp(-ikz - ikr^2 / (2R(z)) + iζ(z))


ここで、各変数は以下の通りに定義されます。

r: ビームの中心軸からの距離
z: ビーム径が最も収束している点（ビームウェスト）からの中心軸方向の距離
i: 虚数単位 (i² = -1)
k = 2π/λ: 波数（単位はラジアン毎メートル）
E₀: |E(0,0)|（ビームウェストにおける電場強度）
w(z): スポットサイズ（電界強度および放射照度が中心軸上の値からそれぞれ1/eおよび1/e²になる半径）
w₀ = w(0): ビームウェストでのスポットサイズ
R(z): 波面の曲率半径
ζ(z): グイ位相シフト

時間依存因子 eiωt は式中で省略されています。

対応する時間平均強度分布は以下のようになります。


I(r,z) = I_0 (w_0 / w(z))^2 exp(-2r^2 / w(z)^2)


ここで、I₀ = I(0,0) はビームウェストの中心における放射照度であり、ηは媒質の特性インピーダンスを表します。自由空間ではη ≈ 376.7 Ωです。

ビームパラメータ

ガウシアンビームの特性は、以下のパラメータによって記述されます。

スポットサイズ（ビーム幅）

自由空間を伝播するガウシアンビームのスポットサイズw(z)は、ビームウェストと呼ばれる光軸上の点で最小値w₀をとり、そこから距離z離れた点でのスポットサイズは以下のように表されます。


w(z) = w_0 sqrt(1 + (z/z_R)^2)


ここで、z軸の原点はビームウェストに一致するようにとられており、zRはレイリー範囲と呼ばれます。


z_R = πw_0^2 / λ


レイリー範囲は、ビームの広がり方を特徴付ける重要なパラメータです。

レイリー範囲と共焦点パラメータ

ビームウェストからレイリー範囲zRだけ離れた点でのビーム幅は、以下のようになります。


w(z_R) = sqrt(2) w_0


この2点間の距離は「共焦点パラメータ」またはビームの「焦点深度」と呼ばれ、2zRで表されます。

曲率半径

波面の曲率半径R(z)は、以下の式で与えられます。


R(z) = z (1 + (z_R / z)^2)

発散角

ビームウェストから遠く離れると、ビームは円錐形とみなすことができ、その拡がり角を「発散角」と呼びます。発散角θは、以下のように表されます。


θ = λ / (πw_0)


発散角はビームウェストサイズに反比例するため、焦点サイズの小さいガウシアンビームは伝播するにつれてより速く広がります。逆に、レーザービームの平行性を高く保つためには、半径を大きくする必要があります。

このビーム幅と発散角との関係は回折によって生じます。ガウシアンビームは、ビーム幅と発散角の積が最小となる特別な例です。

ガウシアンビームモデルは近軸近似に基づいているため、波面が約30°以上傾いた場合には適用できなくなります。また、ガウシアンビームモデルは、2λ/πより大きなビームウェストサイズを持つ場合にのみ適用できます。

レーザービームの品質は、ビームパラメータ積(BPP)で評価されます。ガウシアンビームの場合、BPPは発散角とビームウェストサイズの積です。実際のビームのBPPは、最小直径と遠地点の発散角を測定して計算されます。実際のビームのBPPと、同じ波長の理想的なガウシアンビームにおけるBPPの比は、M²と呼ばれます。ガウシアンビームではM²の値は1ですが、実際のビームは常に1より大きな値を持ちます。

グイ位相

グイ位相シフトは、光軸上の「縦位相の遅れ」であり、以下の式で表されます。


ζ(z) = arctan(z/z_R)


グイ位相シフトは、ガウシアンビームがビームウェストを通過する際に、平面波と比較して位相がπだけずれることを示しています。

複素ビームパラメータ

ガウシアンビームのスポットサイズと曲率半径の情報は、以下の複素ビームパラメータq(z)でまとめて表すことができます。


1/q(z) = 1/R(z) - iλ/(πw(z)^2)


複素ビームパラメータは、ガウシアンビームの解析、特に転送行列を用いた光共振器の解析において重要です。

パワーと放射照度

開口を通るパワー

位置zの光軸に垂直な面上の半径rを持つ円を通過するパワーPは、以下の式で表されます。


P(r,z) = P_total(1 - exp(-2r^2/w(z)^2))


ここで、P_totalはビームの運ぶ総パワーです。

半径r = w(z)の円を通過するパワーは、総パワーの約63%になります。

放射照度のピーク値と平均値

光軸上のビームウェストから距離zの点におけるピーク放射照度は、以下の式で求めることができます。


I_peak = 2 P_total / (πw(z)^2)


これは、半径w(z)の円の面積でパワーの総計値を割って求められる「平均強度」のちょうど2倍の値です。

ガウシアンビームの導出

ガウシアンビームの数学的形式は、自由空間または一様な誘電率を持つ媒質における電磁波の波動方程式に基づいて導かれます。


∇²U + k²U = 0


この波動方程式の解を、以下のように仮定します。


U(r,z) = u(r,z) exp(-ikz)


ここで、ビームが十分にコリメートされていると仮定し、近軸近似を適用すると、以下の近軸近似波動方程式が得られます。


∇²u + 2ik ∂u/∂z = 0


この微分方程式の解の一つが、ガウシアンビームです。

高次モード

ガウシアンビームは、近軸近似における無数のモードの一つにすぎません。これらの直交モードもレーザービームのモデリングに使用され、実際のレーザービームはこれらのモードの線形結合で記述できます。

エルミート・ガウシアンモード

共振器が回転対称でない場合に有用なモードで、複素パラメータqを用いて以下のように表されます。


um(x,z) ∝ H_m(sqrt(2)x/w(z)) exp(-x^2/w(z)^2) * exp(-ikx^2/(2R(z)) + iζ(z))


ここで、Hₘ(x)はm次のエルミート多項式です。TEMmnモードとして表記され、m,nはそれぞれx,y方向の多項式の次数を表します。

ラゲール・ガウシアンモード

円筒対称性を持つ場合に用いられるモードで、円筒座標系とラゲール多項式を用いて記述されます。

インス・ガウシアンモード

楕円座標系における高次モードであり、インス多項式を用いて記述されます。エルミート・ガウシアンモードとラゲール・ガウシアンモードは、インス・ガウシアンモードの特殊な場合です。

超幾何ガウシアンモード

極座標系において、複素振幅が合流型超幾何関数に比例するモードです。位相特異点を持ち、光子の軌道角運動量の固有関数となります。ベッセル・ガウシアンモード、修正指数ガウシアンモード、修正ラゲール・ガウシアンモードなどが含まれます。

結論

ガウシアンビームは、レーザー光学において重要な役割を果たしており、その特性は多くのパラメータによって記述されます。このビームを理解することで、レーザーシステムの設計や応用において、より効率的な制御と利用が可能となります。また、ガウシアンビームは、様々な高次モードの基礎となるものであり、光の振る舞いを深く理解するための重要な概念です。

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