キャブタクシー数

キャブタクシー数とは

キャブタクシー数（Cabtaxi number）とは、ある正の整数nに対し、n通りの方法で2つの立方数の和として表される最小の数を指します。この数は、全ての整数（正数、零、負数）を用いる立方数で構成できますが、正の整数のみに限定された場合は「タクシー数」と呼ばれます。キャブタクシー数は、無限に存在することが知られており、全てのnについて一つ以上のキャブタクシー数が存在することが示されています。

既知のキャブタクシー数

現在確認されているキャブタクシー数は10個あります。以下にそれぞれの数とその表現を示します。

• - Cabtaxi(1): 1 = 1³ + 0³
• - Cabtaxi(2): 91 = 3³ + 4³ = 6³ - 5³
• - Cabtaxi(3): 728 = 6³ + 8³ = 9³ - 1³ = 12³ - 10³
• - Cabtaxi(4): 2,741,256 = 108³ + 114³ = 140³ - 14³ = 168³ - 126³ = 207³ - 183³
• - Cabtaxi(5): 6,017,193 = 166³ + 113³ = 180³ + 57³ = 185³ - 68³ = 209³ - 146³ = 246³ - 207³
• - Cabtaxi(6): 1,412,774,811 = 963³ + 804³ = 1134³ - 357³ = ...（他の表現もあり）
• - Cabtaxi(7): 11,302,198,488 = 1926³ + 1608³ = ...
• - Cabtaxi(8): 137,513,849,003,496 = 22944³ + 50058³ = ...
• - Cabtaxi(9): 424,910,390,480,793,000 = 645210³ + 538680³ = ...
• - Cabtaxi(10): 933,528,127,886,302,221,000 = 77480130³ - 77428260³ = ...

これらの数は、コンピュータの計算により精査されており、特にCabtaxi(5)からCabtaxi(10)までの数は、さまざまな数学者によって発見されました。例えば、ランダル・L・ラスバンはCabtaxi(5)からCabtaxi(7)を、ダニエル・バーンスタインはCabtaxi(8)を発見し、ダンカン・ムーアはCabtaxi(9)を、クリスチャン・ボイヤーとウーヴェ・ホラーバッハはCabtaxi(10)に関連する研究を行いました。特にCabtaxi(10)に関しては、ボイヤーがその上限を放っておき、ホラーバッハがこれを証明したことで重要視されています。

今後の展望

2008年4月時点で、Cabtaxi(11)からCabtaxi(42)までの数に関しては既に上限が設定されています。これらの研究は、数論と組合せ論を結びつける重要な研究の一つであり、数学者たちのさらなる挑戦が期待されています。数の形成メカニズムや性質についての理解が進むことで、新たな数理的発見があるかもしれません。

関連項目

• - タクシー数: キャブタクシー数の特別な場合で、正の整数のみを用いる場合にあたります。
• - 一般化タクシー数: タクシー数のさらに広い定義です。

参考文献

• - Eric W. Weissteinによる『Cabtaxi Number』: MathWorld
• - タクシー数に関する新しい上限の研究が行われています。

このようにキャブタクシー数は、単なる数学の問題としてだけでなく、歴史や計算技術、研究者の業績とも深く結びついている興味深いテーマです。

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