キャロル数

キャロル数について

キャロル数（Carol number）は、特定の形式で表される整数の系列で、数式では次のように表されます。$$ C_n = 4^n - 2^{n+1} - 1 $$ これは、$n$が0以上の整数の場合に成り立ち、より別の表現として、$$ C_n = (2^n - 1)^2 - 2 $$ という形でも表されます。キャロル数の最初のいくつかの値は次の通りです。$-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527,…$（オンライン整数列大辞典の数列A093112）。

この数は、Cletus Emmanuelによって研究され、彼の友人であるCarol G. Kirnonの名前に由来しています。

二進表現とその特徴

$ n > 2 $ の場合、$n$番目のキャロル数の二進数表現は、$n-2$個の連続する1と0、加えて$n+1$個の1から構成されます。数学的には、次のように表されます。$$ ext{二進表現} = extstyle igg( extstyle igg)
vert_{ ext{n+2}}^{2n} 2^i - 1 $$ 例として、3番目のキャロル数は47で、これは二進数で101111（十進数の47）となります。同様に、4番目のキャロル数である223は11011111と表されます。また、$2n$番目のメルセンヌ数と$n$番目のキャロル数の差は$$2^{n+1}$$に等しいことも覚えておくと良いでしょう。

キャロル素数

キャロル数の中には、素数となるものもあります。特に7を含むキャロル数は、3個おきに7の倍数が並ぶ属性があります。このため、$x > 0$に対して、$3x + 2$番目以外のキャロル数は素数である可能性があります。キャロル数の中で特に素数であるもの（キャロル素数）は、7、47、223、3967、16127などが知られています。これらの中で、7番目のキャロル数は5番目のキャロル素数で位置し、16127です。また、逆から読むと素数である72161も関連しています。

キャロル素数の中で特に注目すべきは、2018年2月時点で、最大のキャロル素数がn=695631番目のキャロル数であり、418812桁の素数であることです。これは、2016年7月にMark Rodenkirchによって発見されたもので、44番目のキャロル素数として知られています。

一般化と他の進数におけるキャロル数

キャロル数は、偶数の基数bに対して一般化されることがあります。b進キャロル数は、次のように定義できます。$$(b^n - 1)^2 - 2$$ ここで、bが奇数の場合、b進キャロル数は偶数となるため、素数にはなり得ません。このように、特定の奇数bに対する$n ≥ 1$の条件を考慮した場合、特定のbにおけるキャロル数の素数性についても研究されています。

例えば、一般化b進キャロル素数の中で知られている最大のものは、$$(2695631 - 1)^2 - 2$$ となります。

まとめ

キャロル数は、整数系列の中でも特異な属性を持ち、特に素数や二進数表現に関して興味深い考察がなされています。キャロル数とその一般化は、数学界でも重要な位置を占めており、さらなる研究の対象となっています。

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