クニーズニク・ザモロドチコフ方程式

クニーズニク・ザモロドチコフ方程式 (Knizhnik–Zamolodchikov Equations)

クニーズニク・ザモロドチコフ方程式（以下KZ方程式）は、共形場理論において中心的な役割を果たす方程式であり、アフィンリー代数の表現に関連しています。具体的には、プライマリ場のN-点関数が満たすべき複素偏微分方程式の系であり、多くの場合、正則特異点を持つ形をとります。

KZ方程式の定義

KZ方程式は次のように表されます。

$$\left((k+h)\partial_{z_{i}} + \sum_{j
eq i}{\frac{\sum_{a,b}\eta_{ab}t_{i}^{a}\otimes t_{j}^{b}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi(v_{N},z_{N})\dots \Phi(v_{1},z_{1})\right\rangle = 0.$$

ここで、$\hat{\mathfrak{g}}_{k}$はレベル$k$のアフィンリー代数を示し、$\Phi(v,z)$はそのプライマリ場です。$t_{i}^{a}$は基底を表し、$\eta$はキリング形式を表します。

導出

KZ方程式は、$\hat{\mathfrak{g}}_{k}$の加群内のヌルベクトルの存在から導かれます。このヌルベクトルは、相関関数に関連する制限条件の結果として得られ、ミニマルモデルでも確認される現象です。ヌルベクトルは次の形を持ちます：

$$\left(L_{-1}-\frac{1}{2(k+h)}\sum_{k\in \mathbb{Z}}\sum_{a,b}\eta_{ab}J_{-k}^{a}J_{k-1}^{b}\right)v = 0.$$

ここに$v$は最高ウェイトベクトルです。

数学的定式化

TsuchiyaとKanie (1988)により、KZ方程式は頂点代数の観点からも研究され、BorcherdsやFrenkelらによっても深化されました。これにより、アフィンカッツ・ムーディ代数における真空表現は、頂点代数におけるエネルギー作用素として取り扱われます。

特に、エネルギーが1の頂点作用素$V(a,0)$は、真空ベクトルから生成されます。エネルギーが2の固有ベクトルも存在し、セーガル・菅原構成を通じてカッツ・ムーディ代数の生成子が得られます。

KZ方程式の応用

この方程式は、共形場理論だけでなく、既存の物理理論や数学の偏微分方程式など、様々な分野で影響を持っています。特に、スピン$j$表現に関連するプライマリ場がKZ方程式を満たすとされ、相関関数のホロノミーにおいても重要な役割を果たします。

また、KZ方程式は解析接続を通じて、ブレイド群や量子群の表現論との関係性を持ち、多くの数学的現象を理解する手段としても用いられます。

結論

クニーズニク・ザモロドチコフ方程式は共形場理論の中で根本的な役割を果たしており、その数学的構造と物理的意味は、今後の研究においても引き続き注目されるポイントとなるでしょう。

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