キリング形式

キリング形式

キリング形式は、数学の分野において特にリー群やリー環の理論において重要な対称双線型形式です。この形式は、リー代数の性質を探求し、解析するために用いられます。ここでは、キリング形式の歴史的背景、定義、その性質について詳しく説明します。

歴史と名称

キリング形式は、フランスの数学者エリ・カルタンによって1894年に彼の学位論文で導入されました。しかし、その名称は1951年にアルマン・ボレルによって初めて使用されたものであり、彼はその命名の理由を忘れていると述べています。ボレルは、名称が不適切で「カルタン形式」と称する方が正確ではないかと示唆しています。ヴィルヘルム・キリングは、リー代数における特性方程式の係数が随伴群において不変であることを認識しました。彼は、この事実がキリング形式が不変であることを示すことに貢献しましたが、彼自身はそれをあまり利用しませんでした。カルタンが用いた結果に基づく「カルタンの判定条件」は、キリング形式が非退化であることとリー環が単純であることが同等であることを示します。

定義

体 K 上のリー環 g を考えます。このリー環の元 x に対し、随伴自己準同型 ad(x) をリーブラケットによって以下のように定義します。

$$
extrm{ad}(x)(y) = [x, y].
$$

ここで、g が有限次元の場合、2つの自己準同型の合成のトレースはKに値を持つ対称双線型形式を定義します：

$$
B(x, y) = extrm{trace}( extrm{ad}(x) extrm{ad}(y)).
$$

この形式がキリング形式と呼ばれます。

性質

キリング形式 B は双線型であり、対称的です。また、結合性を持っており、すなわち次のような不変性を示します。

$$
B([x, y], z) = B(x, [y, z]),
$$

ここで [ , ] はリーブラケットを示します。もし g が単純リー環であれば、g 上の任意の不変対称双線型形式はキリング形式のスカラー倍と同等です。さらに、キリング形式はリー環 g の自己同型 s のもとでも不変です。具体的には、次が成り立ちます。

$$
B(s(x), s(y)) = B(x, y).
$$

このことから、カルタンの判定条件により、リー環が半単純であればキリング形式が非退化であることが示されます。他方、冪零リー環のキリング形式は常にゼロとなります。

行列要素

任意の基底 e_i によって、キリング形式の行列要素は次のように表現されます。

$$
B^{ij} = rac{ extrm{tr}( extrm{ad}(e^i) extrm{ad}(e^j))}{I_{ad}}.
$$

ここで、I_ad は g の随伴表現のディンキン指数です。キリング形式は、リー環の構造定数に基づく最も基本的な二次テンソルであり、多様体上のメトリックテンソルとしても利用可能です。

実形との関係

g を実数体上の半単純リー環とすると、キリング形式は非退化となり、適切な基底をとることで対角化することが可能です。シルヴェスターの慣性法則は、キリング形式に対する不変量を示し、任意の基底選びに依存しない成分の数で示されます。この数はリー環 g の指数と称され、特にキリング形式が負定値である場合、g はコンパクトとされます。

例

複素特殊線型環 sl(2, C) には二つの実形、すなわち実特殊線型環 sl(2, R) と特殊ユニタリ環 su(2) があります。前者は非コンパクトであり、後者はコンパクトで、キリング形式の符号により特性が異なります。

結論

キリング形式はリー環とリー群の研究において中心的な役割を果たしており、その性質の理解は理論の発展に寄与します。特に、キリング形式に基づくさまざまな理論は、数学の複雑な構造の理解に不可欠な要素となります。

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