共形場理論

共形場理論（CFT）

共形場理論（Conformal Field Theory, CFT）は、共形変換の下で不変な場の理論として定義される。特に1+1次元の系では、複素平面などのリーマン面上での表現が重要であり、物理学や数学においてさまざまなモデルの理解に役立つ。

共形変換とその性質

共形変換に対する不変性は、ウォード＝高橋恒等式を要求し、その結果としてエネルギー-運動量テンソル（またはストレステンソル）に基づく保存量が導かれる。また1+1次元の場合、エネルギー-運動量テンソルはVirasoro代数と呼ばれる無限次元のリー代数として表現され、理論の中核を成す。

共形変換群は、時空における対称性であるポアンカレ群を自然に拡張するものであり、空間d-1次元と時間1次元のd次元時空はリー群SO(d,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+2)(d+1)/2個存在し、内訳は以下のようになる。

• - d(d-1)/2: 空間d-1次元および時間1次元のローレンツ変換。
• - d: d次元空間の並進と時間の推進。

この構造はポアンカレ群の部分群として機能する。また、スケールの普遍性がある場合は、スケール変換（計量の目盛りの変更）が示唆され、その場合は特に以下の共形変換が加わることになる。

• - d: d次元時空の特殊共形変換（反転と平行移動の組み合わせ）。

このように構築された代数SO(d,2)は共形代数（conformal algebra）と呼ばれる。

相関関数と共形場理論の影響

場の理論における基本的な可観測量である相関関数は共形代数によって強い制約を受ける。特にユニタリな共形場理論では、スカラー演算子の二点関数が特定の形式に定まることが知られている。具体的には、次の式で表される。

$$
⟨
ϕ(x)
ϕ(y)
⟩ =
\frac{1}{|x-y|^{Δ_{ϕ}}}
$$

ここで、$Δ_{ϕ}$は演算子$ϕ$のスケーリング次元という、理論依存のパラメータである。

2次元共形場理論の形成

2次元共形場理論は、1984年にBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikovによって確立された。この理論の特異性は、2次元の時空において、共形変換群SO(2,2)が無限次元のリー群に拡張される点にある。ここで、共形変換群は無限個の生成子からなる代数、すなわちヴィラソロ代数の部分代数となり、この代数が持つ制約は非常に強力である。

特に、ミニマル模型においては、2次元イジング模型などの全ての相関関数の振る舞いをヴィラソロ代数とウォード＝高橋恒等式から正確に導出することが可能である。このため、可解な2次元共形場理論は、2次元の統計系や1+1次元の量子系を理解する上で極めて有用なツールである。これにより、物理学における多くの問題の解決に寄与してきた。

おわりに

共形場理論は、理論物理学の重要な分野であり、近年では超弦理論やAdS/CFT対応|AdS_CFT対応においてもその概念が活用されている。共形場理論の発展は、様々な物理現象の理解に新たな光をあて続けている。

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