クラメールのパラドックス

クラメールのパラドックスとは、特定の数の点を通ることで、平面上の代数曲線が一意に定まるかどうかに関する、かつて見られた数学的な矛盾のことです。この疑問を最初に提起したのはスコットランドの数学者コリン・マクローリンだとされていますが、スイスの数学者ガブリエル・クラメールがこの分野で顕著な研究を行ったため、彼の名が冠されています。

パラドックスの内容

どのような数の点があれば、ある次数の平面代数曲線が一意に決定できるのでしょうか。例えば、平面上の異なる2点を通る直線（1次曲線）はただ一つに決まります。また、一般的に、どの3点も同一直線上にない5点を通る円錐曲線（2次曲線）も一つに定まります。この考え方を一般化し、`n`次の平面代数曲線が何個の点によって一意に定まるかという問題について、二つの異なる視点から考察すると、一見矛盾する結論が得られるように思われました。

視点1：曲線の方程式の係数から考える

`n`次の平面代数曲線は、一般的に `Ay^n + (B+Cx)y^(n-1) + ... + Kx^n = 0` のような形で表されます。この方程式に含まれる未知の係数（A, B, C, ...）は、`n`が増えるにつれて増えていきます。これらの係数をすべて決定するためには、与えられた点の数だけ方程式が立てられ、それらを連立方程式として解く必要があります。係数の数を数えると、`n`次の平面代数曲線の一般式には `n(n+3)/2` 個の係数（ただし、全体にかかる定数倍は自由度として除外できるため、決定すべきは `n(n+3)/2` 個の関係式）があります。したがって、これらの係数を一意に決定するには、通常は `n(n+3)/2` 個の点の情報があれば十分であると考えられました。つまり、`n(n+3)/2` 個の点が`n`次曲線を一意に決定するだろう、という推測です。

視点2：二つの曲線の交点から考える

一方で、代数幾何学の重要な定理であるベズーの定理によると、二つの異なる`n`次の平面代数曲線は、共通部分として最大で `n^2` 個の点で交わることがあります（複素数の範囲で重複度を含めて数えた場合）。もし、これら `n^2` 個の交点すべてを通る曲線が少なくとも二つ（元の二つの曲線）存在するならば、これらの `n^2` 個の点だけでは、どちらか一方の曲線を特定するには不十分であることになります。つまり、`n^2` 個の点を通る`n`次曲線は複数存在しうるため、`n`次曲線を一意に決定するには、`n^2` 個よりも多くの点が必要なのではないか、という別の推測が生まれます。

矛盾

これらの推測は、例えば3次曲線 (`n=3`) の場合に明確な矛盾として現れます。視点1によれば、3次曲線を一意に決定するには `3(3+3)/2 = 9` 個の点があれば十分です。しかし、視点2によれば、二つの3次曲線は最大で `3^2 = 9` 個の点で交わる可能性があるため、これらの9点をすべて通る3次曲線は複数存在しうる、つまり9点では不十分な場合があるということになります。このように、「9点で十分である」という結論と、「9点では不十分な場合がある」という結論が対立しているように見えたのです。

パラドックスの解決

現代の数学の視点から見れば、これは真のパラドックスではなく、特定の条件が見落とされていたことによる見かけ上の矛盾です。この問題は、18世紀の傑出した数学者レオンハルト・オイラーによって解決されました。

オイラーが明らかにしたのは、点の「独立性」という概念の重要性です。`n`次の平面代数曲線を決定するのに必要な点の数は、確かに `n(n+3)/2` 個であることが多いのですが、これは与えられた `n(n+3)/2` 個の点が「一般の位置にある」、あるいは「独立である」という条件の下での話なのです。

具体例による解説

先ほどの3次曲線の例で考えてみましょう。一般的な9点を通る3次曲線は一意に定まります。しかし、特定の配置にある9点、例えば二つの3次曲線の交点となっている9点の場合はどうでしょうか。インプットで示された、ある特定の9点（(0,0), (1,1), (-1,-1), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0), (1,-1), (-1,1)）を考えてみましょう。これらの点を通る3次曲線の方程式 `Ay^3 + (B+Cx)y^2 + (D+Ex+F x^2)y + (G+Hx+J x^2+K x^3) = 0` の係数 (A, B, ..., K) を求めるための連立方程式を立てると、未知数10個に対し、9個の式が得られます。通常であれば、未知数より一つ少ない連立方程式の解空間は1次元となり、係数の比が一意に定まることで曲線も一意に決まります。

しかし、これらの特定の9点の場合、連立方程式に対応する係数行列の階数が9ではなく8になってしまうのです。これは、9番目の点を通るという条件が、他の8つの点を通るという条件から自動的に導かれてしまうことを意味します。つまり、これらの9点は互いに「独立ではない」のです。行列の階数が8ということは、解空間の次元が 10 - 8 = 2 となり、`a(x^3 - x) + b(y^3 - y) = 0` のような形で表される、1次元の自由度を持つ曲線群が得られます（aとbは任意の実数で、少なくとも一方はゼロでない）。この曲線群には複数の異なる曲線が含まれており、したがって元の9点だけでは3次曲線を一意に決定できないことがわかります。

もし、この独立でない9点のうち一つを、例えば (2,3) のような別の点に置き換えてみましょう。すると、新しい9点は「独立」になり、これらの点を通る3次曲線は `(x^3 - x) - 10(y^3 - y) = 0` というように一意に定まります。

結論として

結局のところ、`n`次の平面代数曲線は `n(n+3)/2` 個の点を通れば「ほぼ」一意に定まるという視点1の考え方は正しかったのですが、そこには「これらの点が独立である」という重要な条件が抜け落ちていたのです。二つの`n`次曲線の交点である `n^2` 個の点は、一般的には `n(n+3)/2` 個より多いか少ないか、あるいは等しい数ですが、これらの交点集合はしばしば独立ではないため、そこを通る曲線が複数存在するという視点2の観察もまた正しかったのです。パラドックスは、点の配置が独立であるかどうかの条件を考慮に入れなかったことから生じていたのであり、オイラーによってその条件の重要性が明らかにされたことで解決されました。

この概念は、代数幾何学における点の配置や曲線の交わり方に関する深い理解につながっています。

クラメールのパラドックス