ケイリー＝バッハラッハの定理

ケイリー＝バッハラッハの定理

ケイリー＝バッハラッハの定理は、数学、特に代数幾何学の分野における、射影平面 $\text{P}^2$ 上の三次曲線に関する基本的な結果です。この定理は、二つの三次曲線が共通に持つ交点の特別な性質を示しています。

定理の主張

射影平面上において、相異なる九つの点で交わる二つの三次曲線を考えます。このとき、これらの九つの交点の中から任意の八点を選んで通過する別の三次曲線は、選ばれなかった残りの九番目の点をも必ず通過するというのが、ケイリー＝バッハラッハの定理の中心的な主張です。

歴史的背景

この定理の考え方の起源は、より単純な場合である円錐曲線に関するミシェル・シャールの仕事に見られます。その後、アーサー・ケイリーが定理の一般化を試みましたが、その証明には不備がありました。最終的に、イザーク・バッハラッハが、アレクサンダー・フォン・ブリルとマックス・ネーターの研究成果を援用し、ケイリーの証明を補完・改良しました。バッハラッハは1881年にこの定理の正しい一般化された形とその証明を示し、彼の名がケイリーと共に関されています。

詳細な考察

ベズーの定理によれば、代数的に閉じた体上の、共通成分を持たない二つの三次曲線は、重複度を含めて常に九つの交点を持つことが保証されます。ケイリー＝バッハラッハの定理は、これらの九つの交点がある特別な幾何学的配置にあることを示唆しています。

八つの指定された点を通る三次曲線の集まり（族）を考えると、その族の構造は、与えられた八点の配置に依存します。特に、八点のどの七点も同一の非退化円錐曲線上になく、かつどの四点も同一直線上にないという「一般的な」位置にある場合、これらの八点を通る三次曲線全体の空間は2次元のベクトル空間を形成します。この状況下では、八点を通る任意の三次曲線は、同様にこれらの八点を通る他の二つの異なる三次曲線の九番目の交点を共有することになり、これが定理の帰結となります。

逆に言えば、異なる九つの点を共有する三次曲線の族が存在する場合、その九つの点はケイリー＝バッハラッハの定理の条件を満たします。つまり、その九点のうち任意の八点を通る三次曲線は、必ず族に属する曲線であり、したがって九番目の点も通過する、ということです。

次元の観点からの理解

ケイリー＝バッハラッハの定理が三次曲線で起こる理由は、曲線を決定するために必要な点の数と、二つの曲線が交わる点の数の関係から理解できます。

射影平面上で次数 $d$ の代数曲線を一意に決定するためには、一般に $\frac{(d+1)(d+2)}{2} - 1 = \frac{d^2+3d}{2}$ 個の点が必要です。一方、二つの次数 $d$ の曲線は、重複度を含めて $d^2$ 個の点で交わります。

次数 $d$ が小さい場合、これらの数を比較してみましょう：
$d=1$（直線）：決定に必要な点数は $\frac{1^2+3(1)}{2} = 2$ 個。二直線は $1^2=1$ 点で交わります。2点で直線は一意に決まり、交点は1つです。
$d=2$（円錐曲線）：決定に必要な点数は $\frac{2^2+3(2)}{2} = 5$ 個。二つの円錐曲線は $2^2=4$ 点で交わります。5点で円錐曲線は一意に決まりますが、4点では一意に決まらず、4点を通る円錐曲線の族が存在します。
$d=3$（三次曲線）：決定に必要な点数は $\frac{3^2+3(3)}{2} = 9$ 個。二つの三次曲線は $3^2=9$ 点で交わります。決定に必要な点数と交点数が一致します。
$d=4$（四次曲線）：決定に必要な点数は $\frac{4^2+3(4)}{2} = 14$ 個。二つの四次曲線は $4^2=16$ 点で交わります。

$d=3$ が特別なのは、曲線を決定するために必要な点数と、二つの曲線が交わる点の数が初めて一致する次数であるためです。 $d > 3$ の場合、交点の数が必要な点数を上回ります。

三次曲線の場合、9点が必要です。もし二つの三次曲線が共通の9点で交わっているならば、これらの9点は一般的な配置にはないと言えます。なぜなら、一般的な9点は一意的な三次曲線を決定するはずですが、ここでは少なくとも二つの三次曲線がそれらを通過しているからです。これは、9点を通る三次曲線の空間が1次元以上余分に大きいこと（過剰度があること）を意味し、この余剰次元が「8点を通れば9番目の点も通る」という性質を導きます。具体的には、3次斉次多項式の空間は10次元であり、8点を通るという条件は8つの線形条件を課すため、これらの条件を満たす多項式（すなわち三次曲線の定義方程式）の空間は少なくとも $10 - 8 = 2$ 次元のベクトル空間を形成します。

重要な応用

ケイリー＝バッハラッハの定理は、他の多くの幾何学的定理を導く強力なツールとなります。

パスカルの定理: 円錐曲線上の六つの点に関する定理です。ケイリー＝バッハラッハの定理において、一方の三次曲線を三つの直線（例えば P₁P₂, P₃P₄, P₅P₆）に退化させ、もう一方の三次曲線を円錐曲線とある直線に退化させる、といった巧妙な構成を用いることで、パスカルの定理の主張（対辺の交点が共線であること）を導くことができます。
パップスの六角形定理: これはパスカルの定理の特殊な場合であり、ケイリー＝バッハラッハの定理を用いて証明する際に、円錐曲線をさらに二つの直線に退化させることで得られます。
* 楕円曲線: 楕円曲線上の点の加法性に関する議論においても、特定の条件下でケイリー＝バッハラッハの定理の特殊なケースが応用されます。例えば、三次曲線の一方を楕円曲線上の点を結ぶ線分に関連する三つの直線に選ぶことで、点の加法性の結合法則を示す際に定理の原理が現れます。

結論

ケイリー＝バッハラッハの定理は、三次曲線の交点構造が持つ非自明な性質を示す基本的な結果であり、代数曲線の理論やその他の幾何学分野において重要な役割を果たしています。特に、点の特別な配置とそれを通る代数曲線の族の次元の関係を理解する上で、この定理は示唆に富んでいます。

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