行列の階数

行列の階数：線形代数の基礎概念

線形代数学において、行列の階数はその行列のもっとも重要な特性値の一つであり、行列が表す線形方程式系や線形変換の「非退化性」の度合いを示す指標となります。階数の定義はいくつか同値なものが存在します。

階数の定義

行列Aの階数rank(A)は、以下のいずれにも等しく定義されます。

1. 列空間の次元: 行列Aの列ベクトルが生成するベクトル空間（列空間）の次元。
2. 行空間の次元: 行列Aの行ベクトルが生成するベクトル空間（行空間）の次元。
3. 階段行列の非零行数: 行列Aを基本変形して得られる階段行列における、零ベクトルでない行（または列）の数。
4. 線形写像の像空間の次元: 行列Aを表現行列とする線形写像の像空間の次元。
5. 最大サイズの非零小行列式: 行列Aの0でない小行列式の最大サイズ。
6. 特異値の数: 行列Aの特異値の数（0でない特異値の数）。

これらの定義は全て同値であり、いずれかを用いて行列の階数を定義することができます。 重要な点は、列階数と行階数は常に一致することです。これは線形代数における基本的な定理であり、様々な証明方法が知られています。

行列の階数の性質

m × n行列Aについて、その階数rank(A)は0以上の整数であり、常にrank(A) ≤ min(m, n)を満たします。
rank(A) = min(m, n)のとき、Aは最大階数（フルランク）を持ちます。そうでないとき、階数落ち（階数不足）といいます。
Aが零行列であるとき、かつその時に限りrank(A) = 0となります。
行列Aを表現行列とする線形写像fが単射となる必要十分条件はrank(A) = n（列フルランク）であること。
線形写像fが全射となる必要十分条件はrank(A) = m（行フルランク）であること。
Aが正方行列（m = n）のとき、Aが正則である必要十分条件はrank(A) = n（フルランク）であること。
n × k行列Bに対して、rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))が成り立ちます。
Bが行フルランクならばrank(AB) = rank(A)、Cが列フルランクならばrank(CA) = rank(A)が成り立ちます。
rank(A) = rである必要十分条件は、m × m正則行列Xとn × n正則行列Yが存在して、XAY = diag(I_r, 0)となることです（階数標準形）。ここで、I_rはr × r単位行列です。
rank(A) = rank(A⊤) （A⊤はAの転置行列）
階数・退化次数の定理: 線形写像の階数と退化次数に関する基本的な関係式。
シルベスターの階数不等式、フロベニウスの不等式、劣加法性などの不等式も成り立ちます。

特定の体上の性質

実数体上の行列Aの場合、rank(A) = rank(A⊤A) = rank(AA⊤)が成り立ちます。これはグラム行列の階数と一致することから分かります。
複素数体上の行列Aの場合、rank(A) = rank(A) = rank(AA) = rank(AA)が成り立ちます。（AはAの共役転置行列）

階数の計算方法

階数の計算には、基本変形による階段行列化、LU分解、特異値分解(SVD)、QR分解などが用いられます。特に、数値計算においては、丸め誤差の影響を受けにくいSVDやQR分解が好まれます。

線形写像の階数

線形写像f: V → Wの階数とは、像f(V)の次元のことです。V, Wが有限次元ならば、fの表現行列Aを用いてrank(f) = rank(A)が成り立ちます。このとき、rank(f) = dim(V)であればfは非退化（フルランク）と呼ばれ、そうでない場合は、dim(ker(f))をfの退化次数と呼びます。階数と退化次数の間には、dim(V) = rank(f) + dim(ker(f))という関係が成り立ちます。

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