クルルの単項イデアル定理

クルルの単項イデアル定理

可換環論の分野において、クルルの単項イデアル定理（Krull's principal ideal theorem）は、ネーター環に関連した非常に重要な結果です。この定理は、単項イデアルが持つ特性と、それに関連する素イデアルの高さについて述べています。定理の主な内容は、ネーター環 A における単項イデアル I の極小素因子の高さが 1 以下であるというものです。

具体的には、A の元 x が零因子でも単元でもない場合、x を含む極小素イデアルの高さは常に 1 になります。この定理は、単項イデアルが他のイデアルと比べて持つ特異な性質を示すものであり、可換環論において非常に重要な役割を果たします。

クルルの高度定理

クルルの単項イデアル定理は、さらに一般化された形として知られるクルルの高度定理（Krull's height theorem）も存在します。この定理は、ネーター環における複数の元によって生成されるイデアルに対して、極小素因子の高さが高々 r であることを示しています。ここで、r は生成に使用される元の数を表します。

このように、クルルの単項イデアル定理やその一般化は、ネーター環の構造を理解する上で基盤となる概念を提供します。特に、素イデアルの高さに関する知識は、さまざまな数学的理論の基礎として機能し、代数幾何や整数論などの分野でも応用されます。

参考文献

この定理や周辺の理論について、さらなる理解を深めたい方には以下の文献をお勧めします:

• - Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9
• - 松村英之『可換環論』共立出版、東京、1980年。ISBN 4-320-01658-0
• - 堀田良之『可換環と体』岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9

これらの文献では、クルルの単項イデアル定理に関連する詳細な内容や理論が述べられており、具体的な例や応用についても探求できるでしょう。可換環論は奥深い分野であり、これらの定理はその核心に位置しています。

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