クーン・ポーカー

クーン・ポーカー (Kuhn poker)

クーン・ポーカーは、著名なゲーム理論家であるハロルド・クーン氏によって考案された、二人用のゲームです。これは、現実のポーカーのような複雑な要素を排除し、ゼロサム（零和）かつ不完全情報ゲームの性質を保ったまま、解析を極めて容易にしたモデルとして設計されました。そのルールは非常に単純であるため、ゲーム理論の手法、特にナッシュ均衡や最適戦略の概念を用いて、ゲーム全体の動きやプレイヤーの最善の行動を完全に数学的に分析することが可能です。

ゲームのルール

このゲームで使用されるカードは、キング（K）、クイーン（Q）、ジャック（J）のわずか3枚だけです。ゲームを開始するにあたり、まず各プレイヤーは参加費として1単位のアンティをポットに支払います。その後、3枚のカードから各プレイヤーに1枚ずつカードが配られます。このとき、互いに相手のカードを見ることはできません（不完全情報）。残りの1枚のカードは脇に伏せられ、ゲームには使用されません。

カードが配られた後、一般的なポーカーと同様にベッティングラウンドが始まります。まずプレイヤー1が最初の行動を選択します。選択肢は「チェック」（追加の賭けをせずに順番をプレイヤー2に回す）か、「ベット」（1単位の追加の賭けをする）のいずれかです。

ゲームの進行

プレイヤー1が「チェック」を選択した場合、次にプレイヤー2が行動を選択します。プレイヤー2も「チェック」または「ベット」（1単位）を選択できます。もしプレイヤー2が「チェック」を選んだ場合、両プレイヤーがチェックしたことになり、ここでゲーム終了となります。手札を公開（ショーダウン）し、より強いカード（K > Q > Jの順）を持っていたプレイヤーがポットに集められた合計2単位の賭け金（互いのアンティ）をすべて獲得します。

一方、プレイヤー2が「ベット」を選択した場合、今度はプレイヤー1が応答する必要があります。プレイヤー1は「フォールド」（ゲームから降りる）か、「コール」（プレイヤー2のベット額と同額を支払って勝負に応じる）を選択できます。プレイヤー1が「フォールド」した場合、プレイヤー2が勝者となり、ポットにあった2単位にプレイヤー1が支払った1単位を加えた合計3単位を獲得します。プレイヤー1が「コール」した場合、追加で1単位を支払い、ポットの合計は4単位となります。その後、ショーダウンを行い、手札の強いプレイヤーがこの4単位をすべて獲得します。

プレイヤー1が最初の行動で「ベット」を選択した場合、今度はプレイヤー2が応答します。プレイヤー2は「フォールド」か「コール」を選択できます。プレイヤー2が「フォールド」した場合、プレイヤー1が勝者となり、ポットの2単位にプレイヤー2が支払った1単位を加えた合計3単位を獲得します。プレイヤー2が「コール」した場合、追加で1単位を支払い、ポットの合計は4単位となります。この場合もショーダウンを行い、手札の強いプレイヤーが4単位をすべて獲得します。

ゲーム理論による分析と最適戦略

クーン・ポーカーの最大の特徴は、その単純さによってゲーム理論を用いた完全な分析が可能である点です。このゲームには、プレイヤーがお互いの戦略を知っていても一方的に戦略を変更することで利益を得られない状態である「ナッシュ均衡」が存在しますが、これは複数の行動を確率的に使い分ける「混合戦略ナッシュ均衡」に限られ、「純粋戦略ナッシュ均衡」は存在しません。

均衡状態での両プレイヤーの平均的な損益は固定されています。プレイヤー1（先手）は1ゲームあたり平均-1/18単位を失い、プレイヤー2（後手）はプレイヤー1から平均1/18単位を得ることになります。これは、先手には不利、後手には有利なゲームであることを示しています。

考案者のハロルド・クーン氏は、プレイヤー1にとって無数の混合戦略ナッシュ均衡が存在することを示しました。これらの戦略は、0から1/3までの任意の数値αを用いて表現される連続的なファミリーを形成します。例えば、ある定式化によれば、プレイヤー1は以下の戦略をとります：

ジャック（J）を持っている場合：確率αでベットし、確率1-αでチェックします。
キング（K）を持っている場合：確率3αでベットし、確率1-3αでチェックします。ただし、αの範囲から、確率3αは1以下であるため、常にベットすることはありません。
クイーン（Q）を持っている場合：常にチェックします。もし、プレイヤー1がチェックした後、プレイヤー2がベットしてきた場合には、確率α + 1/3でコールし、確率2/3 - αでフォールドします。

一方、プレイヤー2にとっての混合戦略ナッシュ均衡は一意に定まります。プレイヤー2は以下の戦略をとります：

キング（K）を持っている場合：プレイヤー1がチェックした場合はベットし、プレイヤー1がベットした場合はコールします。常にアクションを起こすことになります。
クイーン（Q）を持っている場合：プレイヤー1がチェックした場合はチェックします。プレイヤー1がベットしてきた場合には、確率1/3でコールし、確率2/3でフォールドします。
ジャック（J）を持っている場合：プレイヤー1がチェックした場合には、確率1/3でベットし、確率2/3でチェックします。プレイヤー1がベットしてきた場合には、常にフォールドします。

これらの戦略に従うことで、どちらのプレイヤーも相手の戦略が分かっていても、自分の戦略を一方的に変更することで得をすることはできなくなります。クーン・ポーカーは、複雑な情報戦や心理戦を含むゲームの基本的な構造を理解し、ゲーム理論的解析手法を学ぶための優れた教材として、研究や教育の場で広く活用されています。

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