グラフ同型

グラフ同型の概念

グラフ同型（グラフどうけい）とは、グラフ理論の中で重要な概念の一つです。グラフ同型性は、二つのグラフが頂点と辺の構造において「同じ」であることを示します。

グラフの定義

まず、グラフの基本的な構成を理解する必要があります。グラフは一般的に、頂点の集合（V）とそれらをつなぐ枝の集合（E）から成り立っています。ここで、グラフ G と G' をそれぞれ以下のように定義します。

• - グラフ G = (V, E)
• - グラフ G' = (V', E')

この場合、V は G の頂点の集合、E は G の枝の集合、V' は G' の頂点の集合、E' は G' の枝の集合です。これらは、特定の条件を満たす限りで、他のグラフと同型であるかどうかを判断する基盤となります。

グラフ同型性の条件

グラフ G と G' が同型であるためには、グラフの頂点間で対応関係が成り立つ必要があります。具体的には、任意の二頂点 v と w が G において隣接する場合、これらの頂点が G' においても対応する頂点と隣接していることを保証するような全単射（bijective）写像 f が存在する必要があります。つまり、次の条件が成り立ちます。

• - (v, w) ∈ E ←→ (f(v), f(w)) ∈ E'

この条件は、二つのグラフが同型であることを示す核心です。言い換えれば、グラフ G と G' の間に「同一」の頂点と同じ辺の接続方法が存在する場合に、そのグラフは同型であると言われます。

同型性判定問題

グラフ同型性に関連する重要な問題が、同型性判定問題です。これは、与えられた二つのグラフが同型か否かを判断することを目的とする問題です。この問題が NP（非決定性多項式時間）に属することは知られていますが、P、co-NP、BPP など他の複雑性クラスに属するかは未解決です。また、NP完全性についても証明されていないため、この問題を量子計算機を利用して効率よく解決できるかどうかは活発に研究されています。

結論

以上のように、グラフ同型の概念とその重要性は、コンピュータ科学や数学において深い影響を与えています。特に、グラフ同型性判定問題は計算複雑性理論の中での重要な課題であり、今後の研究によって新たな進展が期待されます。

参考文献として、ディーステルによる『グラフ理論』（原書第2版）や戸田誠之助による「グラフ同型性判定問題」などが役に立つでしょう。

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