写像

写像（Mapping）とは

写像とは、二つの集合が与えられた際に、一方の集合の各要素に対して、他方の集合のただ一つの要素を対応付ける規則のことです。この対応付けは、関数、変換、作用素、射など、さまざまな数学的概念を表現する基礎となります。

写像の定義

集合Aの各要素に対して、集合Bの要素をただ一つずつ対応させる規則fがあるとき、fを「AからBへの写像」と定義します。

これは次のように表されます。

`f: A → B`

このとき、Aは写像fの定義域（または始域）、Bは終域と呼ばれます。Aの要素aがfによってBの要素bに対応付けられるとき、bはaの像と呼ばれ、`f(a) = b`と表記されます。

写像の表現方法

写像は、しばしば`x ↦ f(x)`のように、変数xを用いて表現されます。このとき、fは「変数xの関数」または「変数xに従属する」と表現されることがあります。

写像の相等関係

二つの写像`f: A → B`と`g: A → B`が等しいとは、以下の条件が成り立つことを意味します。

任意の`a ∈ A`に対して、`f(a) = g(a)`

これは、二つの写像のグラフ（要素の対応関係）が集合として一致することを意味します。

写像の定義（形式的）

集合論では、写像は順序対の集合（二項関係）として定義されます。

二項関係としての定義

集合A、Bに対して、二項関係fが以下を満たすとき、fをAからBへの関数と呼びます。

1. 任意の`x ∈ A`に対して、`(x, y) ∈ f`を満たす`y ∈ B`が存在する（全域性）。
2. `(x, y1) ∈ f`かつ`(x, y2) ∈ f`ならば、`y1 = y2`（右一意性）。

このとき、`(x, y) ∈ f`であることを`f(x) = y`と記述します。

三つ組としての定義

圏論では、写像は順序対の集合Gfと、始域A、終域Bの三つ組`f := (A, B, Gf)`として定義されます。この定義では、写像の相等性を厳密に扱うことができます。

写像の例

自明な写像

恒等写像: 集合Aの各要素をそれ自身に対応させる写像（例: `f(a) = a`）。
包含写像: 集合Aの部分集合Bの各要素を、Aの要素として対応させる写像（例: B → A）。
制限写像: 写像`f: A → B`とAの部分集合A’に対し、A’の各要素をfで対応させる写像。`f|A'`と表記。
空写像: 空[[集合]]を定義域とする写像。空[[集合]]から空[[集合]]への写像は空写像のみ。

一般的な例

絶対値: `|x|: R → [0, ∞)` （実数xをその絶対値に対応）。全射だが単射ではない。
行列式: `det: GL(n, R) → R×` （正則な実n次正方行列をその行列式に対応）。全射だがn ≥ 2のとき単射ではない。
判別式: 2次多項式をその判別式に対応させる写像。全射だが単射ではない。
床関数: 実数xをx以下の最大の整数に対応させる写像 `⌊x⌋`。全射だが単射ではない。
天井関数: 実数xをx以上の最小の整数に対応させる写像 `⌈x⌉`。全射だが単射ではない。
複素数の実部・虚部: 複素数を実部または虚部に対応させる写像。全射だが単射ではない。
射影: 直積集合から各成分への写像。

各分野での写像例

線型写像: 線形空間間の写像。
準同型写像: 群や環間の写像。
連続写像: 距離空間や位相空間間の写像。
単調写像: 順序集合間の写像。
可微分写像: 可微分多様体間の写像。

定値写像

定義域のすべての要素を、終域の同一要素に対応させる写像。像が一元集合となる。

基本概念

像と逆像

逆像: 終域Bの部分集合B’に対応する、定義域Aの要素全体の集合 `f⁻¹(B')`。
像: 定義域Aの部分集合Xに対応する、終域Bの要素全体の集合 `f[X]`。特に、`f[A]`は値域と呼ばれます。

合成写像

二つの写像`f: A → B`、`g: B → C`があるとき、合成写像`g∘f: A → C`は、`a ∈ A`を`g(f(a))`に対応させる写像です。

写像の合成には結合法則が成り立ちますが、交換法則は一般には成り立ちません。

写像の分類

全射、単射、全単射

全射: 値域と終域が一致する写像。すべての終域の要素に対応する定義域の要素が存在する。
単射: 異なる定義域の要素が、異なる終域の要素に対応する写像。包含写像は単射。
全単射: 全射かつ単射である写像。定義域から値域への一対一対応。

逆写像

全単射`f: A → B`に対して、`f(a) = b`となる`a`を`b`に対応させる写像`f⁻¹: B → A`を逆写像といいます。

逆写像は全単射であり、以下の性質を満たします。

`f⁻¹ ∘ f = idA`（恒等写像）
`f ∘ f⁻¹ = idB`（恒等写像）

関連概念と定理

全単射の集合: 集合AからAへの全単射全体は、写像の合成を演算とする群をなします。これは対称群と呼ばれます。
右逆写像・左逆写像: 全射には右逆写像が存在し、単射には左逆写像が存在します。
全射と単射の定義: 写像が右逆写像を持つとき全射、左逆写像を持つとき単射と定義することも可能です。

写像の構成法

制限と延長

制限: 写像の定義域を部分集合に限定すること。
* 延長: 写像の定義域を拡大すること。

直和

定義域が互いに素な写像を組み合わせて、新しい写像を構成する。共通部分がある場合は共通部分への制限が一致する必要がある。

直積

二つの写像の直積により、新しい写像を構成する。

商と標準分解

写像に対応する同値関係を定義し、商集合への写像を考えることによって、写像を全射と単射に分解する。

写像の集合

集合XからYへの写像全体の集合は配置集合と呼ばれ、`YX`と表記される。濃度の冪はこの配置集合の濃度で定義される。

写像図式

複数の集合と写像を図示する際に、図式を用いると記述が簡潔になる。図式が可換であるとは、ある頂点から別の頂点への写像が経路に依存しないことを言う。

一般化と応用

部分写像

定義域が始域の部分集合である写像。写像は、部分写像の一種（全域写像）とみなせる。

多変数・多価の写像

複数の入力を取る写像や、複数の出力を取る写像。複素解析関数など、複数の値を持つ関数を扱う際に用いられる。

射・関手

写像は、集合の圏における射である。関手は、圏の間の構造を保つ写像であり、自然変換は関手間の射である。

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