グラム・シュミットの正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法：線形独立なベクトル集合からの正規直交基底の生成

グラム・シュミットの正規直交化法は、線形独立なベクトルの集合から、それらと同じ部分空間を張る正規直交基底を生成する強力なアルゴリズムです。この手法は、ベクトル空間の幾何学的性質を理解し、様々な数学的応用において重要な役割を果たします。

アルゴリズムの概要

グラム・シュミットの正規直交化法は、大きく分けて二つのステップから構成されます。

1. 直交化: 与えられた線形独立なベクトル集合を、互いに直交するベクトル集合に変換します。
2. 正規化: 直交化したベクトル集合を、ノルムが1となるように正規化します。

これらのステップを順を追って見ていきましょう。

直交化ステップ

線形独立なベクトル集合 \({\boldsymbol{v}}_1, \boldsymbol{v}_2, ..., \boldsymbol{v}_n\) が与えられたとします。まず、最初のベクトル \(\boldsymbol{u}_1\) を \(\boldsymbol{v}_1\) と定義します。

\(\boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{v}_1\)

次のベクトル \(\boldsymbol{u}_2\) は、\(\boldsymbol{v}_2\) から \(\boldsymbol{u}_1\) の方向成分を除去することで得られます。これは、\(\boldsymbol{v}_2\) を \(\boldsymbol{u}_1\) に射影したベクトルを \(\boldsymbol{v}_2\) から差し引くことで実現できます。

\(\boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{v}_2 - \frac{\langle \boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{v}_2 \rangle}{\langle \boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_1 \rangle} \boldsymbol{u}_1 \)

ここで、\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) は内積を表します。同様にして、\(\boldsymbol{u}_3, \boldsymbol{u}_4, ..., \boldsymbol{u}_n\) を順次計算します。一般的に、\(\boldsymbol{u}_k\) は以下の式で表されます。

\(\boldsymbol{u}_k = \boldsymbol{v}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \boldsymbol{u}_i, \boldsymbol{v}_k \rangle}{\langle \boldsymbol{u}_i, \boldsymbol{u}_i \rangle} \boldsymbol{u}_i\)

この手順によって得られた \({\boldsymbol{u}}_1, \boldsymbol{u}_2, ..., \boldsymbol{u}_n\) は互いに直交するベクトル集合となります。

正規化ステップ

直交化ステップで得られたベクトル \(\boldsymbol{u}_i\) を正規化するために、各ベクトルのノルムで割ります。

\(\boldsymbol{e}_i = \frac{\boldsymbol{u}_i}{\|\boldsymbol{u}_i\|} = \frac{\boldsymbol{u}_i}{\sqrt{\langle \boldsymbol{u}_i, \boldsymbol{u}_i \rangle}}\)

ここで、\(\|\boldsymbol{u}_i\|\) は \(\boldsymbol{u}_i\) のノルムを表します。この正規化によって得られた \({\boldsymbol{e}}_1, \boldsymbol{e}_2, ..., \boldsymbol{e}_n\) は、正規直交基底となります。

まとめ

グラム・シュミットの正規直交化法は、線形代数において非常に重要なアルゴリズムです。このアルゴリズムは、線形独立なベクトル集合から正規直交基底を効率的に生成し、様々な応用、例えば、QR分解や最小二乗法などに利用されます。本質的には、与えられたベクトルから、互いに直交する成分を取り出し、それらを単位ベクトルにする操作です。理解を深めるためには、具体的な数値例を用いて計算してみることをお勧めします。様々な線形代数の教科書やオンラインリソースで、より詳細な解説や具体的な例を見つけることができます。

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