内積

線形代数学における内積

線形代数学で重要な概念である内積について、その定義、性質、幾何学的解釈、そして様々な空間への応用について解説します。

内積の定義

内積とは、実または複素ベクトル空間において、二つのベクトルからスカラー値を返す二項演算です。この演算は、特定の条件を満たす必要があります。

複素ベクトル空間V上の内積⟨,⟩: V × V → ℂは、以下の性質を満たす必要があります。

1. 第一変数に関する線型性: 任意のスカラーλ∈ℂとベクトルx, y, z∈Vに対して、⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩が成立します。
2. 第二変数に関する共役線型性: 任意のスカラーλ∈ℂとベクトルx, y, z∈Vに対して、⟨x, λy + z⟩ = λ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩が成立します。ここで、λはλの複素共役を表します。
3. エルミート対称性: 任意のベクトルx, y∈Vに対して、⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩が成立します。
4. 非退化性: ⟨x, x⟩ = 0ならばx = 0が成立します。
5. 半正定値性: 任意のベクトルx∈Vに対して、⟨x, x⟩ ≥ 0が成立します。

実ベクトル空間の場合、共役線型性は線型性となり、エルミート対称性は対称性になります。つまり、⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩となります。

内積の基本性質

内積の定義から導かれるいくつかの重要な性質があります。例えば、任意のベクトルxに対して⟨x, x⟩は実数値となります。また、内積の線型性と非退化性から、⟨x, x⟩ = 0であることとx = 0であることは同値です。

さらに、内積を用いると、ベクトルのノルムや二つのベクトルの間の角度を定義することができます。

内積の例

様々なベクトル空間に内積を定義することができます。以下にいくつかの例を示します。

実n次元ベクトル空間ℝⁿ: ベクトルx = (x₁, x₂, …, xₙ)とy = (y₁, y₂, …, yₙ)の内積は、標準内積として⟨x, y⟩ = Σᵢ₌₁ⁿ xᵢyᵢで定義されます。
複素n次元ベクトル空間ℂⁿ: ベクトルx = (x₁, x₂, …, xₙ)とy = (y₁, y₂, …, yₙ)の内積は、⟨x, y⟩ = Σᵢ₌₁ⁿ xᵢȳᵢで定義されます。
n次対称行列の空間Sⁿˣⁿ: 行列X, Y ∈ Sⁿˣⁿの内積は、⟨X, Y⟩ = Tr(XY)で定義されます。(Trはトレースを表します)
L²(Ω)空間: Ωをユークリッド空間の開集合とします。L²(Ω)はΩ上で二乗可積分な関数の空間です。関数f, g ∈ L²(Ω)の内積は、⟨f, g⟩ = ∫Ω f(x)ḡ(x)dxで定義されます。

内積の幾何学的解釈

内積は、ベクトル空間の幾何学的構造を記述する上で重要な役割を果たします。内積から誘導されるノルム‖x‖ = √⟨x, x⟩はベクトルの長さを表し、二つのベクトルの内積⟨x, y⟩はそれらの間の角度と関連しています。具体的には、cosθ = ⟨x, y⟩ / (‖x‖‖y‖)で定義されるθが二つのベクトルのなす角となります。

また、内積は中線定理と呼ばれる幾何学的性質も満たします。この性質は、内積がベクトル空間の幾何学的構造と密接に関連していることを示しています。さらに、与えられたノルムが内積から誘導されるものであるかどうかを判定する分極恒等式も存在します。

内積の一般化

内積の定義を緩めることで、いくつかの一般化された概念を考えることができます。

退化内積（半内積）: 半正定値性を弱めたものです。
非退化共役対称形式（不定値内積）: 正定値性を落とすことで、ミンコフスキー空間などで用いられる不定値内積が定義できます。

関連する積

内積と関連する積として、外積、内部積、外部積などがあります。これらの積は、ベクトル場や微分形式などのより高度な数学的概念を扱う際に用いられます。

まとめ

内積は線形代数学における中心的な概念であり、ベクトル空間の代数的構造と幾何学的構造を繋ぐ重要な役割を果たしています。その定義、性質、幾何学的解釈、そして様々な空間への応用を理解することは、数学、特に線形代数や関数解析を学ぶ上で不可欠です。

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