ケプストラム

ケプストラムとは

ケプストラムは、信号処理において、周波数スペクトルをさらに解析するために用いられる手法です。具体的には、時間領域の信号をフーリエ変換して得られるスペクトルを、再びフーリエ変換することで得られます。この操作によって、スペクトルにおける周期性や構造が明らかになり、元の信号にはない新たな情報が得られるのです。

ケプストラムの定義

ケプストラムは、以下の手順で計算されます。

1. フーリエ変換: まず、時間領域の信号をフーリエ変換し、周波数スペクトルを得ます。
2. 絶対値: 得られたスペクトルの絶対値を計算します。
3. 対数: 絶対値の対数を取ります。
4. 位相アンラッピング: 位相の不連続性を補正します。
5. フーリエ変換: 対数化したスペクトルを再度フーリエ変換します。

この結果得られる信号がケプストラムです。数式で表すと、信号のケプストラムは FT(log(|FT(信号)|)+j2πm) となります。ここで、FT はフーリエ変換、m は位相アンラッピングに必要な整数を表します。実数ケプストラムは、実数値で定義された対数関数を使用し、複素ケプストラムは複素数で定義された複素対数関数を使用します。複素ケプストラムはスペクトルの振幅と位相に関する情報を保持しており、信号の再構築が可能ですが、実数ケプストラムはスペクトルの振幅に関する情報のみを保持します。

一般的には、ケプストラムを「スペクトルの対数のフーリエ逆変換」と定義されることもありますが、これはオリジナルの定義とは異なるものの、広く用いられています。

ケプストラムの応用

ケプストラムは、以下のような分野で広く応用されています。

地震波解析: 地震や爆発による反響の特性を分析するために、当初は考案されました。
レーダー信号解析: レーダー信号の反射を解析するのにも利用されています。
* 音声・音響分析: 音声や音楽の信号を表す特徴ベクトルとしても利用されています。特にメル周波数ケプストラム係数（MFCC）は、話者認識やピッチ抽出アルゴリズムに応用されています。これは、ケプストラムが声道によって歪められた信号から、声帯の振動に起因するエネルギーを分離できるためです。

ケプストラム分析

ケプストラム分析は、ケプストラムを用いて信号を分析する手法の総称です。ケプストラムは、リフタと呼ばれるフィルタを用いて低周波成分と高周波成分に分離できます。低周波成分はスペクトルのゆっくりとした変動を表し、スペクトル包絡に相当します。一方、高周波成分はスペクトルの微細構造を表します。

特に音声分析では、楽音が倍音を持ちスペクトルの微細構造が周期性を持つため、ケプストラムの高周波成分に明瞭なピークが現れます。この周期を検出することで、音響信号の基本周波数を推定できます。また、低周波成分によるスペクトル包絡を声道特性として解釈できます。

ケフレンシー（quefrency）とリフター（lifter）

ケプストラムのグラフにおける独立変数はケフレンシー（quefrency）と呼ばれます。ケフレンシーは時間の尺度ですが、信号の時間領域での時間とは異なります。例えば、音声信号のサンプリングレートが 44100Hz のとき、ケフレンシーが 100 サンプルのケプストラムに大きなピークが現れた場合、そのピークは 44100/100 = 441 Hz のピッチの存在を示唆します。このピークは、スペクトルにおける倍音が周期的に現れることで発生します。

また、ケプストラム上のフィルタはリフター（lifter）と呼ばれます。ローパスリフターを通した信号を時間領域に戻すと、より滑らかな信号が得られます。

畳み込みとケプストラム

ケプストラム領域における重要な特性として、2つの信号の畳み込みは、それぞれのケプストラムの総和で表されます。これは、異なる信号が混ざり合った状態を分離して解析する上で非常に役立ちます。

メル周波数ケプストラムとメル周波数ケプストラム係数

メル周波数ケプストラム（MFC）は、メルスペクトラムに対するケプストラムです。MFC の生成には、離散フーリエ変換の代わりに離散コサイン変換が用いられることが多いです。メル周波数ケプストラム係数（MFCC）は、MFC の概形を表す係数であり、MFC にリフターを適用し、低次要素のみを残したものを指します。例えば、80次元のメルスペクトラムに対して、20次元の MFCC が用いられることがあります。MFCC に逆離散コサイン変換を適用すると周波数空間に戻り、これはスペクトルの包絡とみなすことができます。

このように、ケプストラムは、信号の特性を詳細に分析するための強力なツールであり、様々な分野での応用が期待されています。

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