ケンプナー級数
調和級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ は、項が次第に小さくなるにも関わらず、無限大に発散することが知られています。しかし、この級数から特定の条件を満たす項を取り除くことで、驚くべきことに収束する級数を作り出すことができます。その代表的な例が、ケンプナー級数です。
ケンプナー級数（Kempner series）とは、調和級数に含まれる項 $\frac{1}{n}$ のうち、分母である正の整数 $n$ を10進数で表現した際に、数字の「9」が少なくとも一桁に含まれる項をすべて除外して得られる級数です。つまり、分母に9を含まない数（1, 2, ..., 8, 10, ..., 18, 20, ..., 88, 100, ...）の逆数だけを足し合わせたものです。数式では、次のように表記されることがあります。
$$ {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots $$
この級数は、1914年に数学者オーブリー・ジョン・ケンプナー（Aubrey John Kempner）によって初めて詳細に研究されました。彼の最も重要な発見は、発散する調和級数とは対照的に、このケンプナー級数が有限の値に収束するということでした。
なぜケンプナー級数は収束するのでしょうか。直感的には、分母が大きくなるにつれて、その10進数表記に「9」が含まれる確率が高くなるため、級数から多くの項が除外されるからです。例えば、100桁のほとんどの正の整数は「9」をどこかの桁に含むと考えられます。このように、大きな分母を持つ項ほど級数から除外される傾向が強いため、級数の和が増加する速度が十分に遅くなり、結果として収束に至るのです。
ケンプナーによる収束性の証明は、広く知られています。証明の鍵となるのは、分母の桁数ごとに項を分類し、各桁数における項の和の上限を評価することです。10進数表記で「9」を含まない$k$桁の正の整数は、最高位が1から8の8通り、残りの$k-1$桁が0から8の9通りの数字で構成されるため、$8 \times 9^{k-1}$ 個存在します。また、$k$桁の数はすべて$10^{k-1}$以上であるため、その逆数は$1/10^{k-1} = 10^{1-k}$以下です。
したがって、「9」を含まない$k$桁の数の逆数の和は、個数と逆数の上限の積よりも小さくなります。つまり、$8 \times 9^{k-1} \times 10^{1-k} = 8 \times (9/10)^{k-1}$ 以下です。
ケンプナー級数全体の和は、これらの各桁数ごとの和をすべて合計したものです。この合計の上限は、初項8、公比9/10の無限等比級数の和として評価できます。
$$ {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}} \le \sum_{k=1}^{\infty} 8 \left(\frac{9}{10}
ight)^{k-1} = 8 \times \frac{1}{1 - 9/10} = 8 \times \frac{1}{1/10} = 80 $$
この評価から、ケンプナー級数は80よりも小さい有限の値に収束することが厳密に証明されます。同様の方法で、「0」以外の任意の特定の数字dを含まない項を除外した級数も収束することが示せます。例えば、「0」を含まない場合の項の個数は$9^k$個となり、同様の評価によってその級数の和の上限は90となります。
ケンプナー自身が示した上界80は、実際の収束値に比べるとかなり大きいものでした。1916年にはアーウィン（Irwin）が、収束値が22.4から23.3の範囲にあることをより精密に示しました。その後の数値計算によって、ケンプナー級数の収束値はさらに高い精度で求められています。数学者ベイリー（David H. Bailey）らによる計算では、その値は約 22.92067661926415034816 とされています。
しかし、ケンプナー級数の収束は非常に遅いことが知られています。10の24乗項まで計算しても、実際の収束値との誤差が1を超えるほどです。この収束の遅さから、精密な値を効率的に計算するためのアルゴリズムの開発が試みられています。シュメルツァー（Jörg Schmelzer）とベイリーは、級数をより速く評価するための数値計算法を研究しています。
ケンプナー級数は、様々な形で一般化されて研究されています。アーウィンは1916年に、特定の数字dが分母の桁に$k$回以下出現するような項の逆数和も収束することを示しました。例えば、分母に数字「9」が全く含まれないか（$k=0$、これがケンプナー級数）、または1回だけ含まれる項の逆数和（$k=1$）は収束します。ベイリーは、分母に「9」をただ1度だけ含む数の逆数和が約 23.04428708074784831968 に収束することを発見しています。
さらに、ファリ（Olivier Farhi）は、特定の数字dが分母の桁に厳密に$n$回出現するような正整数の逆数和を$S(d, n)$と定義し、ケンプナー級数を$S(9, 0)$と位置づけました。彼は、任意の数字dに対して、$n \ge 1$における数列$S(d, n)$が単調減少し、約 23.02585... という値 $10 \ln(10)$ に収束することを示しました。ただし、$n=0$の場合を含めると単調減少になるとは限らず、$S(9, 0) \approx 22.921$ は $10 \ln(10)$ や$n \ge 1$での$S(9, n)$の値よりも小さいことが分かっています。
ケンプナー級数は、単純な除外条件によって調和級数の発散性が覆されるという、解析的整数論における興味深く、また理解しやすい例の一つです。その収束性の証明方法や、収束の遅さ、そして多様な一般化の可能性は、現在でも研究の対象となっています。
定義と歴史
ケンプナー級数（Kempner series）とは、調和級数に含まれる項 $\frac{1}{n}$ のうち、分母である正の整数 $n$ を10進数で表現した際に、数字の「9」が少なくとも一桁に含まれる項をすべて除外して得られる級数です。つまり、分母に9を含まない数（1, 2, ..., 8, 10, ..., 18, 20, ..., 88, 100, ...）の逆数だけを足し合わせたものです。数式では、次のように表記されることがあります。
$$ {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots $$
この級数は、1914年に数学者オーブリー・ジョン・ケンプナー（Aubrey John Kempner）によって初めて詳細に研究されました。彼の最も重要な発見は、発散する調和級数とは対照的に、このケンプナー級数が有限の値に収束するということでした。
収束性の理由
なぜケンプナー級数は収束するのでしょうか。直感的には、分母が大きくなるにつれて、その10進数表記に「9」が含まれる確率が高くなるため、級数から多くの項が除外されるからです。例えば、100桁のほとんどの正の整数は「9」をどこかの桁に含むと考えられます。このように、大きな分母を持つ項ほど級数から除外される傾向が強いため、級数の和が増加する速度が十分に遅くなり、結果として収束に至るのです。
厳密な収束証明
ケンプナーによる収束性の証明は、広く知られています。証明の鍵となるのは、分母の桁数ごとに項を分類し、各桁数における項の和の上限を評価することです。10進数表記で「9」を含まない$k$桁の正の整数は、最高位が1から8の8通り、残りの$k-1$桁が0から8の9通りの数字で構成されるため、$8 \times 9^{k-1}$ 個存在します。また、$k$桁の数はすべて$10^{k-1}$以上であるため、その逆数は$1/10^{k-1} = 10^{1-k}$以下です。
したがって、「9」を含まない$k$桁の数の逆数の和は、個数と逆数の上限の積よりも小さくなります。つまり、$8 \times 9^{k-1} \times 10^{1-k} = 8 \times (9/10)^{k-1}$ 以下です。
ケンプナー級数全体の和は、これらの各桁数ごとの和をすべて合計したものです。この合計の上限は、初項8、公比9/10の無限等比級数の和として評価できます。
$$ {\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}} \le \sum_{k=1}^{\infty} 8 \left(\frac{9}{10}
ight)^{k-1} = 8 \times \frac{1}{1 - 9/10} = 8 \times \frac{1}{1/10} = 80 $$
この評価から、ケンプナー級数は80よりも小さい有限の値に収束することが厳密に証明されます。同様の方法で、「0」以外の任意の特定の数字dを含まない項を除外した級数も収束することが示せます。例えば、「0」を含まない場合の項の個数は$9^k$個となり、同様の評価によってその級数の和の上限は90となります。
収束値とその計算
ケンプナー自身が示した上界80は、実際の収束値に比べるとかなり大きいものでした。1916年にはアーウィン（Irwin）が、収束値が22.4から23.3の範囲にあることをより精密に示しました。その後の数値計算によって、ケンプナー級数の収束値はさらに高い精度で求められています。数学者ベイリー（David H. Bailey）らによる計算では、その値は約 22.92067661926415034816 とされています。
しかし、ケンプナー級数の収束は非常に遅いことが知られています。10の24乗項まで計算しても、実際の収束値との誤差が1を超えるほどです。この収束の遅さから、精密な値を効率的に計算するためのアルゴリズムの開発が試みられています。シュメルツァー（Jörg Schmelzer）とベイリーは、級数をより速く評価するための数値計算法を研究しています。
一般化
ケンプナー級数は、様々な形で一般化されて研究されています。アーウィンは1916年に、特定の数字dが分母の桁に$k$回以下出現するような項の逆数和も収束することを示しました。例えば、分母に数字「9」が全く含まれないか（$k=0$、これがケンプナー級数）、または1回だけ含まれる項の逆数和（$k=1$）は収束します。ベイリーは、分母に「9」をただ1度だけ含む数の逆数和が約 23.04428708074784831968 に収束することを発見しています。
さらに、ファリ（Olivier Farhi）は、特定の数字dが分母の桁に厳密に$n$回出現するような正整数の逆数和を$S(d, n)$と定義し、ケンプナー級数を$S(9, 0)$と位置づけました。彼は、任意の数字dに対して、$n \ge 1$における数列$S(d, n)$が単調減少し、約 23.02585... という値 $10 \ln(10)$ に収束することを示しました。ただし、$n=0$の場合を含めると単調減少になるとは限らず、$S(9, 0) \approx 22.921$ は $10 \ln(10)$ や$n \ge 1$での$S(9, n)$の値よりも小さいことが分かっています。
ケンプナー級数は、単純な除外条件によって調和級数の発散性が覆されるという、解析的整数論における興味深く、また理解しやすい例の一つです。その収束性の証明方法や、収束の遅さ、そして多様な一般化の可能性は、現在でも研究の対象となっています。
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