ゲーム意味論

ゲーム意味論

ゲーム意味論（Game Semantics）は、論理の意味論をゲーム理論の枠組みを用いて考察する方法です。1950年代後半、パウル・ローレンツェンによって提唱され、以来さまざまな研究が進められています。このアプローチは、論理がどのように機能するかを考える際に、プレイヤー間の戦略的なやり取りに焦点を当てており、特にプログラミング言語の形式意味論にも適用されてきました。

古典論理とその応用

古典論理におけるゲーム意味論の初歩的な応用の一つは、命題論理をゲームの形でモデル化することです。このモデルでは、二人のプレイヤーが論理式に基づいてゲームを行い、一方を立証者（Verifier）、もう一方を偽証者（Falsifier）と呼びます。立証者は論理和の所有者として、偽証者は論理積の所有者として、それぞれの役割を持ちます。

ゲームが開始されると、プレイヤーはその論理演算子の一つの枝を選択し、ゲームはその選択された昼線について続行します。最終的に、論理演算が無くなった状態が残り、その論理式の真理値によって勝敗が決まります。立証者が勝てる戦略を持つ場合、元の論理式は真であると見なされ、逆に偽証者が勝利する戦略を持つ場合は、偽状とされるのです。

このようにゲーム意味論は単純な論理式から始まり、否定や含意がある場合にはより複雑な技法が必要とされます。特に否定の場合、対象が偽であれば真となるため、プレイヤーの役割が入れ替わるという興味深い結果をもたらします。さらに、この手法は述語論理にも適用され、存在記号や全称記号といった量化子に関連する新しいルールが導入されています。

直観論理と線形論理の研究

ローレンツェンとKuno Lorenzは、ゲーム理論的な視点から直観論理に対する意味論の探求を行いました。特に、Blassによって線形論理とゲーム意味論の関係が初めて指摘され、その後、多くの研究者がこの領域の研究を深めました。Samson Abramsky、Radhakrishnan Jagadeesan、Rasquale Malacariaらは、プログラミング言語PCFの完全抽象モデルをゲーム意味論を用いて構築し、これまでの課題に対して新たなアプローチを提案しました。

量化子と合成性

ゲーム意味論における基礎研究は、ヤーッコ・ヒンティッカとGabriel Sanduによって進められ、分岐量化子を持つIndependence-Friendry Logic（IF-Logic）が研究対象となりました。この研究では、合成性の不足が問題視され、タルスキ的真理意味論では不適切と見なされるという困難に直面しました。そこで、ゲーム意味論のアプローチを用いて量化子に新たな意味を与える手法が確立されました。

Wilfrid Hodgesは、コムポジショナルセマンティクス（合成的意味論）を提唱し、このアプローチがIF-Logicのゲーム意味論と同等であることを証明しました。これにより、量化子の研究は他の論理体系へと波及し、Japaridzeによって計算可能性論理が生み出されるなど、ますます発展を遂げています。

最後に

ゲーム意味論は、論理的な問題を単なる抽象的な考察ではなく、具体的なゲームとして捉えることで、より深く理解する手助けをしてくれます。この手法は論理やプログラムの解析に新たな視点を提供し、今後も研究の進展が期待されます。

もう一度検索