存在記号

存在記号とは

数理論理学、特に述語論理において、存在記号（∃）は「少なくとも一つ存在する」ことを示すために用いられる記号です。これは、ある性質を満たす要素が一つ以上存在することを主張する際に使用されます。存在量化子、存在限量子、存在限定子とも呼ばれます。

この記号「∃」は、1897年にジュゼッペ・ペアノによって導入されました。これは、全称記号（∀）が「すべての」要素について量化するのとは対照的です。

具体例

「ある自然数の平方が25である」という命題を考えてみましょう。これを表現する方法として、以下のようなものが考えられます。

0×0 = 25, または 1×1 = 25, または 2×2 = 25, または 3×3 = 25, ...

これは論理和の繰り返しですが、「...」という曖昧な表現が含まれるため、形式論理としては不十分です。代わりに、存在記号を用いて次のように表現します。

「ある自然数 n について、n × n = 25 である。」

この表現は、自然数nが存在し、その二乗が25になるということを明確に示しています。

存在記号の厳密性

上記の例で、最初の表現は「...」という曖昧さがあるため、形式的な表現に変換することが難しいです。しかし、存在記号を用いた表現は、議論領域を明確にすることで、誤解の余地をなくし、形式的に取り扱うことが可能になります。

例えば、5 は自然数であり、5×5 = 25 が真であるため、「ある自然数 n について、n × n = 25 である」という命題は真となります。他の自然数で n × n = 25 が偽となるかどうかは、存在記号の場合、少なくとも一つ真となる n が存在すれば命題は真となるため関係ありません。

しかし、「ある偶数 n について、n × n = 25 である」という命題は偽となります。なぜなら、そのような偶数は存在しないからです。一方、「ある奇数 n について、n × n = 25 である」という命題は、5が奇数であり、5×5=25が真なので、真となります。

議論領域の重要性

上記の例から分かるように、変数が取りうる値の範囲である「議論領域」が、命題の真偽に大きく影響します。特定の条件を満たす要素のみを考慮したい場合は、存在記号と論理積を組み合わせます。

例えば、「ある奇数 n について、n × n = 25 である」という命題は、「ある自然数 n について、n は奇数であり、かつ n × n = 25 である」という命題と同値です。ここで「かつ」は論理積を表します。

存在記号の表記

数理論理学では、存在記号は「∃」と表記されます。これは、英語の「exist（存在する）」の頭文字である「E」を反転させたものです。

例えば、

P(a,b,c) が「a × b = c」を表す述語で、
ℕ が自然数の集合である場合、

論理式「∃n ∈ ℕ P(n,n,25)」は、「ある自然数 n について、n × n = 25 である」という文を表します。

同様に、Q(n) が「n は偶数である」を表す述語とすると、論理式「∃n ∈ ℕ (Q(n) ∧ P(n,n,25))」は、「ある偶数 n について、n × n = 25 である」という文を表します。

関連事項

存在記号の他の記法や、関連する概念については、全称記号の項目を参照してください。

また、以下の概念についても学ぶと、理解がより深まるでしょう。

一意性（∃!）：ただ一つだけ存在することを表す。
一階述語論理：存在記号が用いられる基本的な論理体系。
存在汎化：存在記号を用いた推論規則。
存在例化：存在記号を含む命題からの具体的な例の導出。
量化：変数の範囲を指定する操作。
全称記号：すべての要素について成立することを表す記号。

参考文献

Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic*. A K Peters.

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