全称記号

全称記号とは

数理論理学において、全称記号（universal quantifier）とは「全ての」を意味する記号です。通常「∀」と表記され、全称量化子、全称限量子、全称限定子、普遍量化子、普通限定子などとも呼ばれます。

記号の意味

開論理式「P(x)」は、「x は P である」という状態を表しますが、これだけでは真偽が確定しません。そこで、自由変数「x」を量化子によって束縛し、真偽が確定する閉論理式を作ります。

量化記号には、全称記号「∀」（全ての）と存在記号「∃」（存在する）の2種類があります。全称記号「∀」を用いて「∀xP(x)」と表記すると、「全ての x について、x は P である」という意味になります。このように自由変数を束縛して得られる閉論理式は、元の論理式の全称閉包と呼ばれます。

「∀xP(x)」は、存在記号と否定記号を用いて「￢∃x￢P(x)」と表現することもできます。これは「P でないような x は存在しない」という意味で、「全ての x は P である」と同じ意味になります。

議論領域が有限の場合、「∀xP(x)」は全称記号を使わずに連言のみで表現できます。例えば、議論領域が {a, b, c} のとき、「∀xP(x)」は「P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)」と同じ意味になります。また、∀x ∈ A P(x) は ∀x[x ∈ A ⇒ P(x)]、∀x > 0 P(x) は ∀x[x > 0 ⇒ P(x)] を意味する略記として用いられます。

記号法の歴史

フレーゲ

全称量化を表現する記号法は、ゴットロープ・フレーゲの『概念記法』（1879年）で初めて導入されました。しかし、フレーゲの表記法は2次元的で、現在の線形的な表記法とは大きく異なり、全称量化の表現も独特でした。「∀xP(x)」は、フレーゲの表記法では以下のように書かれました。


__P(x)
/
|


P(x)の左側にあるくぼみ部分が全称記号に相当します。この特殊な表記法は普及しませんでした。

ラッセル＝ホワイトヘッド

ジュゼッペ・ペアノによって線形的な論理式表記法が整備された後、ラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』（1910-1913年）では、全称記号は「( )」で表現されました。「∀xP(x)」は「(x)P(x)」と表記されました。この「( )」は、「全ての」を意味するラテン語「omnis」の頭文字「O」に由来すると言われています。また、「(x)[P(x) ⊃ Q(x)]」の略記法として、「P(x) ⊃x Q(x)」も用いられました。このラッセル流の記号法は、チャーチやクワインの教科書にも採用され、一定の影響力がありました。

ゲンツェン

現在最も広く用いられている「∀」という記号は、ゲルハルト・ゲンツェンによって導入されました。1935年の論文で「All-Zeichen」（全て記号）として「∀」を使用し、これはラッセルが用いていた存在記号「∃」に対応してデザインされたものです。「∀」の形は、「all」（ドイツ語で「全ての」）の頭文字「A」を反転させたものに由来します。

ゲンツェンは、数学において「( )」が別の意味で用いられているため、既存の用法との混同を避けるために、ラッセル流の「( )」を採用しませんでした。クリーネの『メタ数学入門』（1952年）やシェーンフィールドの『数理論理学』（1967年）など、第二次世界大戦後の数理論理学の教科書では、ゲンツェン流の記号法が用いられました。

その他の記号法

他にも様々な記号法が存在します。例えば、シュレーダーやウカシェヴィチは全称記号として「Π」（存在記号は「Σ」）を、タルスキは「∩」（存在記号は「∪」）を使用しました。全称量化は連言（論理積）の操作と深く関係しており、「Π」や「∩」といった積の記号が用いられるのはこのためです。

「∀」以外の記号法は近年ではあまり見られなくなりましたが、対象量化と代入量化を区別するために、代入量化の全称記号として「Π」を用いることがあります。

量化の記号法一覧

関連項目

全称命題
全称例化
全称汎化
数学記号の表
* 存在記号

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