コクセター群

コクセター群

コクセター群は、鏡映変換を生成元とする抽象群の一種で、数学の多くの分野において重要な役割を果たしている。これはハロルド・コクセターの名に由来しており、有限コクセター群は一般のユークリッド空間における鏡映群に関連している。

定義と性質

コクセター群は、特定の条件を満たす生成系を持つ群である。生成元の集合 S が対合のみから構成され、生成元間には特定の関係式が存在する必要がある。特に、異なる生成元に対して関係式が存在したり、全くない場合がある。これにより、コクセター群の構造が決定される。

具体的には、コクセター群 W は次のように書くことができる。

$$
W = igg  x_1, x_2, \ \,|\, x_i^2, (x_j x_k)^{m_{j,k}} igg \u201d
$$

ここで、|S| は生成元の数、すなわちコクセター群の階数を示す。

また、コクセター群は鏡映群とも密接に関連しており、コクセター群の抽象的な性質と鏡映群の具体的な性質を通じて相互に理解される。

有限コクセター群

有限コクセター群は、コクセター-ディンキン図形に基づき分類され、主に三つの無限族 (An, Bn, Dn) といくつかの例外群 (E6, E7, E8) から成る。これらはまた、正多胞体の対称変換群とも関連しており、高次元の多面体における対称性を示す重要な例となる。

ワイル群との関係

多くの有限コクセター群はワイル群でもある。ワイル群はコクセター群としても実現可能であり、特にアルティン群などもこの分類に含まれる。ここで、ワイル群はリー代数と関連し、代数の構造を反映する。

アフィンコクセター群と双曲コクセター群

アフィンコクセター群は無限群であり、特定の構造を持つ正規部分群を含むことが特徴である。余剰群として有限コクセター群を持つため、これに基づく議論が展開される。一方、双曲コクセター群は双曲空間における鏡映群を記述し、無限族の群を形成することで多様な幾何学を探る手段となる。

元の長さとブリュア順序

各生成元に対し、長さ関数 l が定義されることで、群の元を生成元による語として表現し、その長さを測ることが可能になる。また、簡約表示を通じて元同士の関係を序列化し、様々な順序を考えることができる。

結論

コクセター群は鏡映変換群としての性質を抽象化したものであり、数学的な多様な分野においてその重要性が高まっている。特に幾何学、代数、トポロジーの交差点において新たな理論の展開が期待されている。

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