鏡映

鏡映変換：幾何学における対称性と変換

数学において、鏡映変換とは、空間のある超平面を不変にする等長変換です。これは、日常で鏡に映る様子を数学的に表現したものと言えます。3次元空間では、平面鏡に映った図形の位置と見え方は、平面鏡を境に鏡映変換を施した図形と一致します。この平面鏡が、鏡映変換における固定点集合となります。

2次元ユークリッド空間では、鏡映変換の固定点集合は直線となり、「鏡映軸」と呼ばれます。この軸を挟んで図形を折り畳む操作が鏡映変換に対応します。同様に、3次元空間では、与えられた平面を軸とする鏡映変換が定義されます。

鏡映変換によって不変となる図形は、「鏡映対称」または「鏡映対称性を持つ」と言われます。2次元図形においては「線対称」とも呼ばれ、軸が垂直な場合は特に「左右対称」と表現されます。アルファベットのAやHなどは、垂直な軸に関して鏡映対称です。3次元物体や現象において、鏡映対称でありながら合同ではない性質は「掌性」と呼ばれています。

鏡映変換は、長さや角度を変えずに、図形の向きだけを変える変換です。また、同じ鏡映変換を2回連続して適用すると、元の図形に戻るため、鏡映変換は「対合」の一種です。

鏡映変換の定義

標準内積が与えられた2次元実計量ベクトル空間R²において、ベクトルvとaに対し、aに直交する原点を含む直線による鏡映変換Ref_a(v)は、以下の式で定義されます。

Ref_a(v) = v - 2 (v・a) / (a・a) a

ここで、v・aはvとaの内積です。Ref_aは線形変換であり、vとaが直交する場合はRef_a(v) = v、vがaのスカラー倍の場合はRef_a(v) = -vとなります。したがって、原点を固定する鏡映変換の固有値は1と-1となります。

n次元計量ベクトル空間でも同様の定義が適用され、一般的に、点cを通り、aに直交する超平面による鏡映変換は、以下の式で表されます。

Ref_a,c(v) = v - 2 ((v-c)・a) / (a・a) a

鏡映変換の例

xy平面のベクトル(x, y)に対し(x, -y)を対応させる変換は、x軸に関する鏡映変換です。ガウス平面において、複素数z = x + yiに対し、その複素共役z¯ = x - yiは、実軸に関する鏡映変換と見なすことができます。

鏡映変換の性質

Rⁿの原点を固定する鏡映変換は線形変換であり、対応する行列は行列式が-1の直交行列で、(1, 1, ..., 1, -1)を固有値に持ちます。この行列の成分R_ijは、以下の式で表されます。

R_ij = δ_ij - 2 (a_i a_j) / ||a||²

ここで、δ_ijはクロネッカーのデルタです。2つの鏡映変換の積は特殊直交行列となり、回転を表します。逆に、原点を固定する任意の回転は、原点を通る超平面による偶数回の鏡映変換として表すことができます。直交群O(n)の任意の元は、高々n回の鏡映変換の積として表され、鏡映変換の全体は直交群O(n)を生成します。この事実は、カルタン-デュドネの定理として知られています。ユークリッド空間の等長変換群は、アフィン超平面による鏡映変換で生成されます。アフィン超平面で生成される群は「鏡映群」と呼ばれ、コクセター群もその一種です。

クリフォード代数との関係

クリフォード積を用いると、aを法とする超平面による鏡映変換は、以下のように表現できます。

Ref_a(v) = -ava⁻¹

この表現は、クリフォード代数から直交群への準同型を導きます。

関連事項

ハウスホルダー変換、直交行列、ルート系、ワイル群、コクセター群、鏡像などが、鏡映変換と密接に関連する概念です。

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