コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量

コクラン・マンテル・ヘンツェル統計量とは

コクラン・マンテル・ヘンツェル統計量は、統計学において層別化された名義変数の分析において使用される一群の検定推定量です。この統計量は、ウィリアム・ゲメル・コクラン、ナタン・マンテル、ウィリアム・ヘンツェルの三人の名前にちなんで名付けられました。これらの統計量の中でも、特に重要なのが「コクラン–マンテル–ヘンツェル検定（CMH検定）」です。

コクラン–マンテル–ヘンツェル検定

CMH検定は、二分または名義形式の反応を持つ二つの集団を比較する際に用いられる方法です。この検定は、説明変数が目的変数に及ぼす影響が、共分散に依存する場合に特に有効です。これは、異なる処置法を対象に割り当てる際に無作為の割り当てが難しいが、影響を与える共変数が存在する観察研究に頻繁に利用されます。

CMH検定では、データは関連する2×2の分割表に整理されます。検定の帰無仮説は、観察された反応が2×2分割表に用いられたいずれの処置からも独立しているというものです。CMH検定を行うことによって、関連性を検出する力が向上し、より多くの情報を引き出すことが可能になります。

定義と実施方法

具体例を挙げてみましょう。ある二値変数の結果として、例えば「肺がん」という症例の状態があり、治療の要因として「喫煙」という二値の説明変数が考えられます。この場合、観察結果は層別にグループ化され、各層毎に2×2の分割表に要約されます。ここで、i 番目の分割表における共通オッズ比は、次の式で定義されます。

R = \[ \frac{\sum_{i=1}^{K} {A_i D_i \over T_i}}{\sum_{i=1}^{K} {B_i C_i \over T_i}} \]

ここで、帰無仮説は治療とアウトカムに関連がないことを示し、式は次のようになります。

H_0: R = 1

対立仮説は、

H_1: R ≠ 1

と表記され、検定の目的はこの仮説を検証することです。

検定統計量

CMH検定の検定統計量は、次の式で与えられます。

ξ_{CMH} = \[ \frac{\sum_{i=1}^{K} (A_i - {N_{1i} M_{1i} \over T_i})^{2}}{\sum_{i=1}^{K} {N_{1i} N_{2i} M_{1i} M_{2i} \over T_i^{2}(T_i - 1)}}} \]

この検定統計量は、帰無仮説の下で自由度1のカイ二乗分布に従うことで知られています。

総括

コクラン・マンテル・ヘンツェル統計量は、特定の条件における観察研究において非常に重要な役割を果たします。様々な層に分けられたデータを効率的に処理することができ、治療や行動と結果との関係を見極める上で優れた手法として認識されています。統計学におけるこの技術は、医療や社会科学の研究においても広く活用されています。

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