推定量

推定量（すいていりょう）についての解説

統計学における推定量とは、実際のデータを基にして、測定不可能な確率分布の母数を推し量るための指標です。これにより、具体的な数値を得たり、区間を設定して母数がどの範囲に存在するかを推定します。

推定量は、主に二つの形式で示されます。一つは「点推定」で、単一の数値を用いて母数を表現します。もう一つは「区間推定」で、はっきりした範囲を示すことで母数がその中に含まれる確率を示します。一般的に、点推定量を指して「推定量」と言うことが多いです。

推定量の特徴

推定量はさまざまな基準に基づいて得られますが、どの推定量が最も優れているかは一概には言えません。日本工業規格では、推定量を「母集団のパラメータを推定するために使う統計量」と定義しています。

点推定量の誤差

母数 θ の点推定量を
$$ heta^ \hat{} $$
とし、母数との差を誤差として示します。誤差は次のように定義されます。

$$ heta^ \hat{} - \theta $$

さらに、点推定量の偏りは、期待値と母数との差として定義されます。例えば、すべての θ に対して偏りがゼロの場合、その点推定量は不偏推定量と言われます。

推定量の質

推定量の質は、平均二乗誤差（MSE）によって評価されます。これは、推定誤差の二乗の期待値を表し、次のように示されます。

$$ MSE(\theta^ \hat{}) = var(\theta^ \hat{}) + (B(\theta^ \hat{}))^2 $$

ここで、var(X) は X の分散を、E(X) は X の期待値を示します。また、推定量の標準誤差も算出でき、これは推定値のばらつきを示します。

推定方法

推定方法には、最尤推定という概念があります。これは、得られたデータから尤度関数を最大化する方法で、最も適切な母数を求めます。これによって得られた推定値は「最尤推定量」と呼ばれます。

一致性と有効性

推定量の一つの重要な特性は、一致性です。これは、標本数が増加するほど、推定値が真の母数に収束することを意味します。一方、有効性は、与えられた条件下で分散が最小になる推定量を指します。不偏性を持ちつつ分散も最小である推定量が理想とされます。

その他の性質

推定量が持つべき性質には、頑健性も含まれます。これは、推定量がモデルの仮定が変わっても大きく変動しないことを意味します。また、確率推定量は0と1の間に存在しなければならず、分散も非負でなければなりません。

参考文献

この推定量に関する詳細な情報は、以下の文献を参照してください。

• - 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社
• - 日本数学会『数学辞典』岩波書店
• - フォルスミ・ヤスハル『確率論及統計論』河出書房

推定量は統計学の中で非常に重要な概念であり、その理解と活用は、分析の質を向上させるための鍵となります。

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