カイ二乗分布

カイ二乗分布とは

カイ二乗分布（χ²分布）は、推計統計学で非常に重要な役割を果たす確率分布の一つです。この分布は、標準正規分布に従う複数の確率変数の二乗和によって定義されます。具体的には、k個の独立な標準正規分布に従う確率変数X₁, X₂, ..., Xₖがあるとき、これらの二乗和

math
Z = \sum_{i=1}^{k} X_i^2


が従う分布を、自由度kのカイ二乗分布と呼びます。

カイ二乗分布の表記

一般的に、自由度kのカイ二乗分布は以下のように表記されます。

math
Z \sim \chi_k^2


ここで、kは正の整数であり、確率変数の自由度に相当します。場合によっては、非整数の自由度を持つカイ二乗分布も用いられます。

カイ二乗分布とガンマ分布

カイ二乗分布は、ガンマ分布の特殊なケースと見なすことができます。この関係性は、カイ二乗分布の理解を深める上で重要です。

カイ二乗分布の応用

カイ二乗分布は、カイ二乗検定をはじめとする多くの統計的検定で利用されます。これらの検定は、データの適合度や独立性を評価するために用いられます。例えば、フリードマン検定でもカイ二乗分布が活用されています。

カイ二乗分布の性質

確率密度関数

カイ二乗分布の確率密度関数は、x ≥ 0 の範囲で以下のように定義されます。

math
f(x;k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}


ここで、Γはガンマ関数を表します。x ≤ 0 の範囲では、f(x;k) = 0 となります。

分布関数

カイ二乗分布の分布関数は、以下のように定義されます。

math
F(x;k) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}


ここで、γ(k, z)は不完全ガンマ関数を表します。

F分布との関係

カイ二乗分布に従う独立な確率変数X₁とX₂に対して、

math
Y = \frac{X_1/
u_1}{X_2/
u_2}


で定義される確率変数Yは、F分布に従います。ここで、ν₁とν₂はそれぞれのカイ二乗分布の自由度を表します。

指数分布との関係

自由度が2のカイ二乗分布は、期待値が2の指数分布と等しくなります。

期待値と分散

自由度kのカイ二乗分布に従う確率変数の期待値はk、分散は2kです。

中央値

カイ二乗分布の中央値は、以下の近似式で求められます。

math
k - \frac{2}{3} + \frac{4}{27k} - \frac{8}{729k^2}

再生性

カイ二乗分布は再生性を持ちます。つまり、Xが自由度mのカイ二乗分布に、Yが自由度nのカイ二乗分布に従う場合、X+Yは自由度m+nのカイ二乗分布に従います。

正規分布による近似

カイ二乗分布は、自由度が大きくなるにつれて正規分布に近づきます。しかし、その収束は比較的遅いため、以下の近似方法がよく用いられます。

フィッシャーの近似

math
\sqrt{2X}


は、近似的に平均√2k - 1、分散1の正規分布に従います。

ウィルソンとヒルファティの近似

math
\sqrt[3]{\frac{X}{k}}


は、近似的に平均1 - 2/9k、分散2/9kの正規分布に従います。

これらの近似法は、カイ二乗分布の計算や理解を助ける上で重要です。

まとめ

カイ二乗分布は、統計学において非常に重要な確率分布であり、多くの検定や分析で用いられます。その性質や他の分布との関係、正規分布による近似などを理解することで、統計学的な推論をより正確に行うことができるようになります。この分布は、データ分析や研究において、欠かせないツールの一つと言えるでしょう。

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