コックス・インガーソル・ロス・モデル

コックス・インガーソル・ロス・モデル (CIRモデル)

コックス・インガーソル・ロス・モデル、略してCIRモデルは、数理ファイナンスの分野において短期利子率の変動を記述するための数理モデルです。このモデルは、単一の要因である市場リスクをもとに利子率の変動を説明する短期利子率を扱う単因子モデルです。CIRモデルは金利デリバティブの評価にも利用可能です。

1985年にジョン・C・コックス（John C. Cox）、ジョナサン・E・インガーソル（Jonathan E. Ingersoll）、そしてステファン・A・ロス（Stephen A. Ross）の三人によって、バシチェック・モデル（Vasicek model）の拡張として導入されました。CIRモデルは、瞬間的な利子率が特定の確率微分方程式に従うと仮定しています。この確率過程はCIR過程と呼ばれています。

CIRモデルは次のような確率微分方程式で表されます：

$$
drt = a(b - r_t)dt +
sigma
ext{d}W_t$$

ここで、a、b、σは正の定数であり、Wtは無作為な市場リスク因子を表すウィーナー過程です。この方程式の重要な特徴は、正の解が保証されている点です。具体的には、ドリフト因子の部分、すなわちa(b - rt)はバシチェック・モデルの表現と同じです。

CIRモデルの特徴的な要点は、利子率が時間経過と共に長期的に値bに収束していく平均回帰性が設定されていることです。この収束の速度は、変数aによって制御されます。また、モデルのもう一つの重要な要素として、標準偏差因子が考えられます。

$$
σ ext{（r}_t)
$$

このモデルでは、利子率が負またはゼロになることがないように設計されており、これはバシチェック・モデルの主な欠点に対する修正として機能します。具体的には、利子率が低い場合、標準偏差がゼロに近づき、利子率に対する無作為な衝撃が相殺されます。結果として、時間経過とともに利子率の変動はドリフト因子に支配され、利子率が平均値に戻ろうとする動きが観察されます。このようにして、瞬間的な利子率r(t)は非心カイ二乗分布に従うとされています。

債券価格評価

CIRモデルは債券の価格評価にも利用されます。このモデルを用いることで、無裁定債券の価格を正確に評価することが可能です。債券の価格は利子率に対して指数アフィン性を有しています。この特徴により、金融市場においてCIRモデルの利用は広がっています。

関連項目

• - 金融工学
• - 数理ファイナンス
• - バシチェック・モデル
• - ハル・ホワイト・モデル

CIRモデルは、金利の変動を数学的に解析し、様々な金融商品のリスク管理や評価に役立つ重要なツールとなっています。

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