数理ファイナンス

数理ファイナンス

数理ファイナンスは、応用数学の分野に属し、資本市場に関する理論と方法論を構築するための学問です。この分野は金融経済学と深く関係しており、特に資産の価格設定において基本的な理論を提供します。

概要

金融市場における商品の価格は、需要と供給の関係によって決まるとされています。これはミクロ経済学における部分均衡と一般均衡の概念に基づいています。数理ファイナンスでは、一般均衡が成立する証券市場を仮定し、その上で相対的な証券価格の導出が行われます。ただし、このアプローチでは、証券の絶対的な価格には触れられません。例えば、ブラック-ショールズモデルでは、ストックや債券の価格は既に決定されたものとして扱われ、その上で派生商品（デリバティブ）の価格が導出されますが、基礎となる株価がなぜその値にあるのかは考察されません。

複製の概念

数理ファイナンスの核心的な概念は、価格が不明な金融商品を既知の価格を持つ他の金融商品の組み合わせによって再現することです。これにより、元となる金融商品の価格が無裁定原理に基づいて算出できるため、数理ファイナンスにおける「価格」という概念は非常に明確になります。この明快さが、数学的手法を用いた分析を可能にしています。

完備市場と非完備市場

数理ファイナンスにおけるモデルには、完備市場と非完備市場という2つの状況があります。完備市場は、すべてのデリバティブ商品が複製可能である市場を指し、ブラック-ショールズモデルがこの典型です。その一方で、複製できない金融商品が存在する市場は非完備市場と呼ばれ、こうした市場では無裁定原理に従った価格の定義が難しくなります。

歴史的背景

数理ファイナンスは、一般的には金融経済学の理論から発展を遂げ、特に1970年代にはブラック-ショールズモデルなどにより大きな進展を見せました。この分野では、証券の価格が確率的な微分方程式に従うという理解が必要であり、高度な確率論の知識が求められます。特に、1970年代から1980年代にかけて、HarrisonやKreps、Pliskaなどの研究によって、無裁定条件とマルチンゲール測度の存在が相互に必要十分条件であることが示されました。これにより、証券価格の確率過程における議論が深化し、無裁定価格の概念も加わることになりました。

関連領域

数理ファイナンスは、金融工学や経済工学、ベイズ統計学、データサイエンスとも関連があります。また、様々な数値解析ソフトウェアがこの分野で用いられ、計算の効率化やモデルの検証に寄与しています。具体的には、ブラック-ショールズモデルやコックス-インガーソル-ロスモデルなど、数多くのモデルが存在し、学際的なアプローチからも活用されています。

このように、数理ファイナンスは金融市場の理解を深めるための重要な分野であり、数学的理論と経済学的洞察の交差点を探索する学問と言えるでしょう。

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