ウィーナー過程

ウィーナー過程

ウィーナー過程（Wiener process）は、ノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられた、連続時間における確率過程の一つです。この過程は、ブラウン運動の数学的モデルとして重要視され、確率過程の中でも特に広く知られるレヴィ過程の一例とされています。ウィーナー過程は、純粋数学や応用数学、さらに経済学や物理学などにおいてしばしば利用されます。

概要

ウィーナー過程は、数学の純粋な理論とその応用の両方において重要な役割を果たします。純粋数学の視点では、連続時間マルチンゲールの研究からこの過程が生じ、複雑な確率過程を記述する上でのキープレイヤーとなっています。確率解析や拡散過程、さらにはポテンシャル論に至るまで、ウィーナー過程は不可欠な要素です。

応用数学では、ウィーナー過程がホワイト・ノイズの積分を表現し、電子工学のノイズ理論やフィルタリングにおける機器誤差、制御理論における未知の力のモデルとしても役立ちます。このように、多様な分野での応用がその有用性を示しています。

応用

ウィーナー過程の応用は、さまざまな数理科学の領域に及びます。例えば、物理学では、ブラウン運動や流体中の微粒子の拡散、フォッカー-プランク方程式及びランジュバン方程式を用いることで、さまざまな拡散現象を研究する際にこの過程が活躍します。これらの応用は、シュレーディンガー方程式におけるウィーナー積分の厳密な定式化や宇宙論における永久インフレーションの研究の基礎を形成しています。

また、数理ファイナンスにおいてもウィーナー過程は重要であり、特にブラック・ショールズモデルなど、オプション価格理論で顕著に見ることができます。

特徴づけ

ウィーナー過程、記号で表せば $W_t$、は以下の特性で特徴づけられます。

1. $W_0 = 0$ であること
2. $W_t$はほぼ確実に連続であること
3. 任意の $0 ≤ s < t$ に対して、$W_t - W_s$ が正規分布 $N(0, t - s)$ に従うこと

この独立増加性の理解は、ウィーナー過程が流れの性質を示すために重要で、確率的に定義された事象の影響を受けないことを意味します。

さらに、ウィーナー過程はマルチンゲールとしても特徴付けることができ、これによりその特性がより深く理解されます。特に、ウィーナー過程は平均が0で分散が1の独立同分布な離散時間チェーンのスケーリング極限としても現れることが知られています（ドンスカーの定理）。

ウィーナー過程は、一時元または二次元空間内では再帰的ですが、三次元以上では過渡的です。また、ウィーナー過程のスケール不変性により、任意の非零定数でスケーリングしてもウィーナー過程は維持されます。

特殊なケース

ウィーナー過程と関連する確率過程として、ドリフトを持つウィーナー過程やブラウン橋、幾何ブラウン運動などが存在します。それぞれが異なる特性を持ちながらも、ウィーナー過程の影響を受けるモデルとして機能しています。

まとめ

ウィーナー過程は、数学や物理学、経済学などの多様な分野で使用される重要な確率過程であり、その応用は広範囲にわたります。確率過程の中でも特に知られた存在であり、その特性や応用の理解は、現代の数理科学において欠かせない要素となっています。

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