コブ＝ダグラス型関数

コブ＝ダグラス型関数とは

コブ＝ダグラス型関数は、経済学において、生産要素（資本、労働など）の投入量と生産量との関係を表す関数の一種です。特に、投入要素間の代替の弾力性が1であるという特徴を持ちます。

歴史

コブ＝ダグラス型関数は、1920年代にチャールズ・コブとポール・ダグラスによって提示されました。ダグラスが資本と労働の生産への関連を研究していた際に、数学者であるコブに相談し、以下の関数形を用いることになりました。

math
Y = AK^{\alpha}L^{\beta}


ここで、

`Y`：総生産量
`K`：資本ストック
`L`：労働投入量
`A`：全要素生産性
`α`, `β`：パラメータ

この関数形自体は、クヌート・ヴィクセル、フィリップ・ウィックスティード、レオン・ワルラスらによって既に使用されていました。

コブとダグラスは、この関数を生産者理論に応用することを試み、その後、ポール・サミュエルソンやロバート・ソローといった経済学者によって広く用いられるようになりました。国レベルのマクロ生産関数を推定する分析手法として経済学研究で広く用いられ、ミクロ経済学的側面からマクロ経済学を分析する研究手法の先駆けとなりました。

概要

2要素の場合

2つの生産要素（資本と労働）を持つコブ＝ダグラス型生産関数は、一般的に以下の式で表されます。

math
Y = AK^{\alpha}L^{\beta}


各変数の意味は上記の通りです。`α`と`β`はパラメータであり、要素分配率を意味します。例えば、`α = 0.45`の場合、資本ストックが1%増加すると、生産量が0.45%増加します。

`α + β`の値によって、規模に関する収穫が決定されます。

`α + β = 1`：規模に関して収穫一定
`α + β > 1`：規模に関して収穫逓増
`α + β < 1`：規模に関して収穫逓減

完全競争下で`α + β = 1`の場合、`α`は資本分配率、`β`は労働分配率と解釈できます。

一般形

3つ以上の生産要素を持つコブ＝ダグラス型生産関数は、以下のように一般化できます。

math
Y = A\prod_{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha_{i}}


ここで、

`A`：全要素生産性
`N`：生産要素の数
`X_1, ..., X_N`：各投入量
`α_i`：生産要素`i`の弾力性パラメータ

コブ＝ダグラス型関数の応用

コブ＝ダグラス型関数は、その扱いやすさから、経済学の様々な分野で応用されています。

マクロ経済学: 国や地域全体の経済成長を分析するために使用されます。資本、労働、技術進歩が経済成長にどのように寄与するかを評価するために用いられます。
ミクロ経済学: 企業の生産活動を分析するために使用されます。企業の生産関数を推定し、効率的な生産活動を追求するために用いられます。
* 開発経済学: 開発途上国の経済成長を分析するために使用されます。資本蓄積、労働力の質、技術進歩が経済成長にどのように寄与するかを評価するために用いられます。

コブ＝ダグラス型関数は、経済分析において非常に有用なツールですが、いくつかの限界も存在します。例えば、生産要素間の代替の弾力性が常に1であるという仮定は、現実とは異なる場合があります。また、技術進歩が一定の割合で起こるという仮定も、現実とは異なる場合があります。しかし、その簡便さと分析のしやすさから、現在でも広く利用されています。

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