コルモゴロフの拡張定理

コルモゴロフの拡張定理

コルモゴロフの拡張定理は、数学の測度論における重要な理論です。この定理は、実数の自然数次元空間における測度が、無限次元空間においても一意に拡張できることを示しています。具体的には、任意の自然数nに対し、n次元ユークリッド空間
\( \mathbb{R}^n \) 上のボレル集合体
\( \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \) に対して定義された測度
\( m_n \) が、特定の条件を満たす時、この測度が無限次元の空間
\( \mathbb{R}^{\infty} \) においても適用できることを述べています。

この定理の中で、測度
\( m_n \) の測度列
\( (m_n)_{n \in \mathbb{N}} \) が両立条件を満たす場合、そこから次元の拡張が可能になるとされます。この条件によれば、ある集合Aに対して、その測度が次元を増やした時にも整合性が保たれる必要があります。つまり、
\( m_n(A) = m_{n+k}(A \times \mathbb{R}^k) \) が成り立つ必要があります。ここで、Aはn次元のボレル集合です。

コルモゴロフの拡張定理によって、特定の測度が無限次元に拡張できる必要条件が明示されます。具体的には、存在する測度
\( m : \mathcal{B}(\mathbb{R}^{\infty}) \rightarrow [0, \infty] \) は、次の条件を満たす必要があります。
\( m(A \times \mathbb{R}^{\infty}) = m_n(A) \quad (A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) \) です。これにより、Aを無限次元の空間に埋め込むことで形成される筒集合（柱状集合）が定義されます。

この理論は、特に確率論と統計学において融合され、無限回の試行（例：コイン投げやサイコロの投げる回数が無限）の結果を理論的に考察する基盤を提供します。

コルモゴロフの拡張定理は、ロシアの著名な数学者アンドレイ・コルモゴロフにちなんで名付けられました。彼の業績は、確率論の発展に多大な影響を与え、現代の数学における測度の理解を深める助けとなっています。

脚注

• - 関連項目：

- カラテオドリの拡張定理
- ホップの拡張定理
- 前測度

このように、コルモゴロフの拡張定理は、現代数学における測度の理解において欠かせない要素となっています。

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