カラテオドリの拡張定理

カラテオドリの拡張定理

カラテオドリの拡張定理は、測度論において非常に重要な役割を果たす定理です。この定理は、与えられた集合 Ω の部分集合族で構成される集合環 R 上に定義された任意の σ-有限測度を、R が生成する σ-集合環に一意に拡張できることを示しています。特に、この拡張により、実数からなる区間の全てを含む空間で定義された任意の測度は、実数全体の成す集合 R におけるボレル集合族に拡張できるのです。この結果は、測度論における非常に強力なものと見なされ、ルベーグ測度の存在証明にも利用されています。

定理の詳細

d定理は次のように定義されます：集合項 R が Ω 上の集合環であり、μ: R → [0, +∞] を R 上の前測度とする場合、拡張された測度 μ′: σ(R) → [0, +∞] が存在し、これは μ'|R = μ を満たします。ここで、σ(R) は集合環 R が生成する σ-集合環です。また、μ が σ-有限であるならば、その拡張 μ' は一意であり、同時に σ-有限でもあります。

集合環と集合半環

集合に関する基本的な用語として、集合環と集合半環があります。集合半環 S は、以下の性質を満たす部分集合の集まりとして定義されます。

• - 空集合を含む：∅ ∈ S
• - 合併に関して閉じている：任意の A, B ∈ S に対して A ∪ B ∈ S
• - 差集合を有限非交和に記述できる：任意の A, B ∈ S に対して A ∖ B = ∐ Ki の形で表される。

一方、集合環 R は以下の条件を満たす必要があります：

• - 空集合を含む：∅ ∈ R
• - 合併に関して閉じている：任意の A, B ∈ R において A ∪ B ∈ R
• - 差に関しても閉じている：任意の A, B ∈ R に対して A ∖ B ∈ R

これにより、すべての集合環は集合半環の性質も持ちます。多くの文献では、集合環や集合半環がある可算な集合族の直和であるという追加の制約が示されることもあります。

定義の意義

測度論においては、集合環や集合半環そのものよりも、それらが生成する σ-代数に重点が置かれます。そのため、集合半環 S 上に定義された前測度（例えばスティルチェス測度）は、R(S) 上の前測度に拡張でき、最終的にはカラテオドリの拡張定理を用いることで σ-代数の測度にまで拡張可能です。これは、集合環や集合半環の生成する σ-代数が同一である場合、測度論においては実質的に区別がないことを示しています。さらに、カラテオドリの定理自体は、環を半環に変えることで、より一般化されることもあります。

例

例えば、実数 R の冪集合の部分集合には、半開区間 [a, b) の全てを含む集合族があります。これは集合半環でありつつ、集合環ではないのです。しかし、スティルチェス測度はこれらの半開区間上に定義され、可算加法性の証明にはカラテオドリの定理が利用されることが多いです。要するに、区間の可算和のみを考慮することで、加法性を証明できるのです。

関連する理論

この定理は他の測度関連の理論とも関連しています。例えば、外測度やホップの拡張定理、コルモゴロフの拡張定理など、多くの重要な理論がカラテオドリの定理の応用として位置付けられています。これらの理論は、測度論の深化に寄与し、測度の概念をより理解するための助けとなります。

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