コンマ圏

コンマ圏

圏論における「コンマ圏」とは、既存の圏や関手を用いて、特定の構造を持つ新しい圏を構成するための方法の一つです。この興味深い構成法は、1963年に数学者ウィリアム・ローヴェアによって導入されました。彼はその形状が句読点のコンマに似ていることから、この名称を用いました。

コンマ圏は、圏論における様々な概念を統一的に扱うための強力なツールとなります。特に、普遍性、極限（productやequalizerなど）、余極限（coproductやcoequalizerなど）といった基本的な構成や性質を、コンマ圏における特定の対象（普遍対象）として捉えることができます。コンマ圏の特定の形は「スライス圏」とも呼ばれます。

コンマ圏の定義

最も一般的なコンマ圏は、二つの関手 T: E → C と S: D → C に対して定義されます。ここで C, D, E は圏です。

一般的なコンマ圏 (T↓S)

二つの関手 T: E → C および S: D → C に対して定義されるコンマ圏 `(T↓S)` は、以下のように構成される圏です。

対象: コンマ圏 `(T↓S)` の対象は、圏 E の対象 `e`、圏 D の対象 `d`、そして圏 C における `T(e)` から `S(d)` への射 `f: T(e) → S(d)` の三つ組 `` です。

射: 二つの対象 `` と `` の間のコンマ圏 `(T↓S)` の射は、圏 E の射 `k: e → e'` と圏 D の射 `h: d → d'` のペア `` であって、以下の図式が可換になるものとして定義されます。

mermaid
flowchart LR
Te --> S_d
Te' --> S_d'
Te --> Te'
S_d --> S_d'

Te f > S_d
Te Tk > Te'
S_d Sh > S_d'
Te' f' > S_d'

Tk & Sh are edges representing the actions of the functors T and S on the morphisms k and h.

subgraph C
Te(T(e))
Te_prime(T(e'))
S_d(S(d))
S_d_prime(S(d'))
end

classDef hidden stroke-width:0px;
class Tk,Sh hidden;

%% The condition is f'・(Tk) = (Sh)・f



つまり、`f'・T(k) = S(h)・f` という等式を満たすような圏 E の射 `k` と圏 D の射 `h` の組 `` がコンマ圏の射となります。

射の合成: コンマ圏における射の合成は、それぞれの成分ごとに定義されます。二つの射 `: → ` と `: → ` の合成 `・` は、`` と定義されます。ただし、ここで `k'・k` は圏 E における射の合成、`h'・h` は圏 D における射の合成です。

特定のコンマ圏の例

一般的なコンマ圏の定義において、特定の関手や圏を考えることで、以下のような構成が得られます。

下方対象の圏 (b↓C): 圏 C の対象 `b` に対して、一点圏 `` から C への対象 `b` を指す関手 T (`` ↦ `b`) と、C から C への恒等関手 S を考えると、コンマ圏 `(T↓S)` の対象は `<, c, f>` となり、これは実質的に圏 C の対象 `c` と `b` から `c` への射 `f: b → c` のペア `` と等価です。これが `b` の下方対象の圏 `(b↓C)` です。射は `` となり、圏 C の射 `h: c → c'` で `h・f = f'` を満たすものに対応します。

上方対象の圏 (C↓a): 圏 C の対象 `a` に対して、C から C への恒等関手 T と、一点圏 `` から C への対象 `a` を指す関手 S (`` ↦ `a`) を考えると、コンマ圏 `(T↓S)` の対象は `` となり、これは圏 C の対象 `d` と `d` から `a` への射 `g: d → a` のペア `` と等価です。これが `a` の上方対象の圏 `(C↓a)` であり、「スライス圏」または `C/a` とも呼ばれます。射は `` となり、圏 C の射 `k: d' → d` で `g・k = g'` を満たすものに対応します。

関手を含む下方対象の圏 (b↓S): 圏 C の対象 `b` と関手 S: D → C に対しては、一点圏 `` から C への関手 T (`` ↦ `b`) と関手 S を考えたコンマ圏 `(T↓S)` が `b` の S-下方の対象からなる圏 `(b↓S)` となります。対象は `<, d, f>` の形で、圏 D の対象 `d` と `b` から `S d` への射 `f: b → S d` のペア `` と等価です。射は `` の形で、圏 D の射 `h: d → d'` で `S h・f = f'` を満たすものに対応します。

関手を含む上方対象の圏 (T↓a): 関手 T: E → C と圏 C の対象 `a` に対しては、関手 T と一点圏 `` から C への関手 S (`` ↦ `a`) を考えたコンマ圏 `(T↓S)` が `a` の T-上方の対象からなる圏 `(T↓a)` となります。対象は `` の形で、圏 E の対象 `e` と `T e` から `a` への射 `g: T e → a` のペア `` と等価です。射は `` の形で、圏 E の射 `k: e → e'` で `g・T k = g'` を満たすものに対応します。

このように、コンマ圏は二つの関手の間の関係性や、特定の対象と圏全体の関係性を抽象的に捉えるための強力な枠組みであり、圏論の様々な概念を理解し構成する上で重要な役割を果たします。

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