ウィリアム・ローヴェア
フランシス・ウィリアム・ローヴェア（Francis William Lawvere, 1937年2月9日 - 2023年1月23日）は、アメリカ合衆国出身の傑出した数学者です。彼は特に圏論、トポス理論、そして数学の哲学といった多岐にわたる分野でその才能を発揮しました。インディアナ州マンシーで生まれたローヴェアは、その学術的なキャリアを通じて、シカゴ大学助教授（1966年）、ニューヨーク市立大学大学院センター準教授（1968-1969年）、そしてニューヨーク州立大学バッファロー校教授（1974年以降）を歴任し、多くの後進を指導しました。
彼の数学への道は、学部時代に連続体力学をクリフォード・トルーズデルから学んだことに始まります。トルーズデルの関数解析の講義で圏論に触れたことが彼の学問的方向性を決定づけました。特に、ジョン・L・ケリーの教科書に記されていた、関手的な手法に対する「まるで銀河のように強力な理論」という評価に深い感銘を受けました。ローヴェアは、トルーズデルやワルター・ノルが提唱する、物理的な直感に基づいた簡潔かつ厳密な数学的フレームワークに大きな可能性を見出します。トルーズデルの推薦もあり、彼はコロンビア大学で圏論の創始者の一人であるサミュエル・アイレンベルグのもとで純粋数学を学ぶ機会を得ました。
博士課程に入る前、ローヴェアはバークレーに一年間滞在し、非正規の学生としてアルフレト・タルスキやデイナ・スコットからモデル理論と集合論を学びました。初めて教壇に立ったリード大学では、基礎論的な視点から抽象代数学や微分積分学を教育するという革新的な試みを行います。既存の公理的集合論が学部生には複雑すぎると感じた彼は、集合と写像の構成に関する独自の基礎公理の開発に着手しました。この公理体系は、後の彼の研究、特に初等トポス理論の重要な基盤となり、1964年の記念碑的な論文「集合の圏の初等理論（Elementary Theory of the Category of Sets）」にまとめられました。
ローヴェアは1963年、アイレンベルグの指導のもと博士号を取得します。彼の博士論文は、代数的理論の意味論を構築するための枠組みとして、「圏の圏」という概念を導入した画期的な内容でした。
1964年から1967年にかけて、彼はチューリッヒ工科大学の数学研究所で圏の圏の研究を深めるとともに、オーバーヴォルファッハで開催されたピエール・ガブリエルのセミナーを通じて、グロタンディークによる代数幾何学の基礎理論を精力的に学びました。その後、彼はシカゴ大学でマックレーンと、ニューヨーク市立大学大学院センターでアレックス・ヘラーと共同研究・教育活動を行います。シカゴでの「圏論的力学」に関する講義は、その後のトポス理論へと発展する重要な段階でした。また、ニューヨーク市立大学での講義では、彼が1963年に発見した「超教義（hyperdoctrines）」と呼ばれる高等圏論的論理学の概念を探求し、普遍量化子が随伴関手の特殊な場合として特徴づけられることを明らかにしました。
1968年から69年にかけて再びチューリッヒに戻ったローヴェアは、代数的位相幾何学者のマイルズ・ティアニーと緊密に協力し、トポス理論の研究を進めました。この共同研究の中で、彼はグロタンディークが導入したトポスの概念を一般化する、初等的（一階述語論理に基づく）な公理系を提唱しました。ローヴェアとティアニーは、この新たな理論の構造を詳細に分析し、その応用を探求しました。特にティアニーは、グロタンディーク位相の記述を大きく簡略化する手法を発見しました。さらにアンダース・コックは、写像空間や部分対象の表現が、圏の基本構造である積とイコライザを用いて記述できることを示し、トポス理論の記述をさらに平易にしました。ローヴェアは、部分対象の表現対象上の自己準同型によってグロタンディーク位相が完全に特徴づけられる可能性を指摘し、ティアニーは、この条件が冪等性（idempotency）と有限交差の保存という二つの性質と同値であることを証明しました。層の圏のように、これらの位相概念によって決定される部分トポスは、代数幾何学およびモデル理論の双方において極めて重要な役割を果たしています。
キャリアの中で、ローヴェアはいくつかの困難にも直面しました。例えば、1969年にダルハウジー大学で組織されたKillam財団支援の研究者グループは、彼の政治的主張（1970年の戦時措置法への反対など）や、大学の正規の許可を得ずに数学史を講義したことなどを理由に、1971年に解散しました。しかし、後年（1995年）、ダルハウジー大学は圏論50周年を記念するパーティーにローヴェアとマックレーンを招待し、彼の貢献を再評価しています。1972年から1974年にかけてイタリアのペルージャで開催されたセミナーでは、計量空間を強化圏（enriched category）と見なす視点など、様々な豊穣圏について深く研究しました。1974年から2000年に退官するまで、彼はニューヨーク州立大学バッファロー校で数学教授として活躍し、スティーブン・サミュエルと共同で多くの研究を行いました。1977年には5年任期のマーティン教授職に選ばれ、1982年には「連続体物理学における圏論」と題した国際会議を主催しました。この会議には、かつての師であるクリフォード・トルーズデルも参加し、連続体物理学の合理的基礎や、ローヴェアが発展させた圏論的力学の空間的な側面である総合微分幾何学について活発な議論が行われました。ローヴェアの半世紀以上にわたる研究活動は、常に物理的な直感を大切にし、それを解析的な曖昧さや複雑さを排した厳密かつ柔軟な数学的構造で捉えることを目指していました。彼は現在、バッファロー校の数学名誉教授および哲学名誉非常勤教授であり、その永年の功績を認められ、2012年にはアメリカ数学会のフェローに選出されています。
彼の主要な著作には、Stephen H. Schanuelと共同編集した『Categories in Continuum Physics』（1986年）、同じくSchanuelとの共著で圏論への入門書である『Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories』（1997年）、そしてRobert Rosebrughとの共著による数学の基礎に関する書籍『Sets for Mathematics』（2003年）などがあります。これらの著作は、彼の研究成果を広く伝え、多くの研究者や学生に影響を与えています。
ローヴェアの業績は、数学の様々な分野、特に基礎論と物理学における概念の構造を理解するための強力なツールとして、今日でも広く研究され続けています。
学問的背景と初期の研究
彼の数学への道は、学部時代に連続体力学をクリフォード・トルーズデルから学んだことに始まります。トルーズデルの関数解析の講義で圏論に触れたことが彼の学問的方向性を決定づけました。特に、ジョン・L・ケリーの教科書に記されていた、関手的な手法に対する「まるで銀河のように強力な理論」という評価に深い感銘を受けました。ローヴェアは、トルーズデルやワルター・ノルが提唱する、物理的な直感に基づいた簡潔かつ厳密な数学的フレームワークに大きな可能性を見出します。トルーズデルの推薦もあり、彼はコロンビア大学で圏論の創始者の一人であるサミュエル・アイレンベルグのもとで純粋数学を学ぶ機会を得ました。
博士課程に入る前、ローヴェアはバークレーに一年間滞在し、非正規の学生としてアルフレト・タルスキやデイナ・スコットからモデル理論と集合論を学びました。初めて教壇に立ったリード大学では、基礎論的な視点から抽象代数学や微分積分学を教育するという革新的な試みを行います。既存の公理的集合論が学部生には複雑すぎると感じた彼は、集合と写像の構成に関する独自の基礎公理の開発に着手しました。この公理体系は、後の彼の研究、特に初等トポス理論の重要な基盤となり、1964年の記念碑的な論文「集合の圏の初等理論（Elementary Theory of the Category of Sets）」にまとめられました。
主要な業績：トポス理論と圏論的基礎論
ローヴェアは1963年、アイレンベルグの指導のもと博士号を取得します。彼の博士論文は、代数的理論の意味論を構築するための枠組みとして、「圏の圏」という概念を導入した画期的な内容でした。
1964年から1967年にかけて、彼はチューリッヒ工科大学の数学研究所で圏の圏の研究を深めるとともに、オーバーヴォルファッハで開催されたピエール・ガブリエルのセミナーを通じて、グロタンディークによる代数幾何学の基礎理論を精力的に学びました。その後、彼はシカゴ大学でマックレーンと、ニューヨーク市立大学大学院センターでアレックス・ヘラーと共同研究・教育活動を行います。シカゴでの「圏論的力学」に関する講義は、その後のトポス理論へと発展する重要な段階でした。また、ニューヨーク市立大学での講義では、彼が1963年に発見した「超教義（hyperdoctrines）」と呼ばれる高等圏論的論理学の概念を探求し、普遍量化子が随伴関手の特殊な場合として特徴づけられることを明らかにしました。
1968年から69年にかけて再びチューリッヒに戻ったローヴェアは、代数的位相幾何学者のマイルズ・ティアニーと緊密に協力し、トポス理論の研究を進めました。この共同研究の中で、彼はグロタンディークが導入したトポスの概念を一般化する、初等的（一階述語論理に基づく）な公理系を提唱しました。ローヴェアとティアニーは、この新たな理論の構造を詳細に分析し、その応用を探求しました。特にティアニーは、グロタンディーク位相の記述を大きく簡略化する手法を発見しました。さらにアンダース・コックは、写像空間や部分対象の表現が、圏の基本構造である積とイコライザを用いて記述できることを示し、トポス理論の記述をさらに平易にしました。ローヴェアは、部分対象の表現対象上の自己準同型によってグロタンディーク位相が完全に特徴づけられる可能性を指摘し、ティアニーは、この条件が冪等性（idempotency）と有限交差の保存という二つの性質と同値であることを証明しました。層の圏のように、これらの位相概念によって決定される部分トポスは、代数幾何学およびモデル理論の双方において極めて重要な役割を果たしています。
後半生と物理学への貢献
キャリアの中で、ローヴェアはいくつかの困難にも直面しました。例えば、1969年にダルハウジー大学で組織されたKillam財団支援の研究者グループは、彼の政治的主張（1970年の戦時措置法への反対など）や、大学の正規の許可を得ずに数学史を講義したことなどを理由に、1971年に解散しました。しかし、後年（1995年）、ダルハウジー大学は圏論50周年を記念するパーティーにローヴェアとマックレーンを招待し、彼の貢献を再評価しています。1972年から1974年にかけてイタリアのペルージャで開催されたセミナーでは、計量空間を強化圏（enriched category）と見なす視点など、様々な豊穣圏について深く研究しました。1974年から2000年に退官するまで、彼はニューヨーク州立大学バッファロー校で数学教授として活躍し、スティーブン・サミュエルと共同で多くの研究を行いました。1977年には5年任期のマーティン教授職に選ばれ、1982年には「連続体物理学における圏論」と題した国際会議を主催しました。この会議には、かつての師であるクリフォード・トルーズデルも参加し、連続体物理学の合理的基礎や、ローヴェアが発展させた圏論的力学の空間的な側面である総合微分幾何学について活発な議論が行われました。ローヴェアの半世紀以上にわたる研究活動は、常に物理的な直感を大切にし、それを解析的な曖昧さや複雑さを排した厳密かつ柔軟な数学的構造で捉えることを目指していました。彼は現在、バッファロー校の数学名誉教授および哲学名誉非常勤教授であり、その永年の功績を認められ、2012年にはアメリカ数学会のフェローに選出されています。
主な著作
彼の主要な著作には、Stephen H. Schanuelと共同編集した『Categories in Continuum Physics』（1986年）、同じくSchanuelとの共著で圏論への入門書である『Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories』（1997年）、そしてRobert Rosebrughとの共著による数学の基礎に関する書籍『Sets for Mathematics』（2003年）などがあります。これらの著作は、彼の研究成果を広く伝え、多くの研究者や学生に影響を与えています。
ローヴェアの業績は、数学の様々な分野、特に基礎論と物理学における概念の構造を理解するための強力なツールとして、今日でも広く研究され続けています。
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